MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efaddlem Unicode version

Theorem efaddlem 13828
Description: Lemma for efadd 13829 (exponential function addition law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efadd.1
efadd.2
efadd.3
efadd.4
efadd.5
Assertion
Ref Expression
efaddlem
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem efaddlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efadd.4 . . . 4
2 efadd.5 . . . 4
31, 2addcld 9636 . . 3
4 efadd.3 . . . 4
54efcvg 13820 . . 3
63, 5syl 16 . 2
7 efadd.1 . . . . . 6
87eftval 13812 . . . . 5
98adantl 466 . . . 4
10 absexp 13137 . . . . . . 7
111, 10sylan 471 . . . . . 6
12 faccl 12363 . . . . . . . 8
1312adantl 466 . . . . . . 7
14 nnre 10568 . . . . . . . 8
15 nnnn0 10827 . . . . . . . . 9
1615nn0ge0d 10880 . . . . . . . 8
1714, 16absidd 13254 . . . . . . 7
1813, 17syl 16 . . . . . 6
1911, 18oveq12d 6314 . . . . 5
20 expcl 12184 . . . . . . 7
211, 20sylan 471 . . . . . 6
2213nncnd 10577 . . . . . 6
2313nnne0d 10605 . . . . . 6
2421, 22, 23absdivd 13286 . . . . 5
25 eqid 2457 . . . . . . 7
2625eftval 13812 . . . . . 6
2726adantl 466 . . . . 5
2819, 24, 273eqtr4rd 2509 . . . 4
29 eftcl 13809 . . . . 5
301, 29sylan 471 . . . 4
31 efadd.2 . . . . . 6
3231eftval 13812 . . . . 5
3332adantl 466 . . . 4
34 eftcl 13809 . . . . 5
352, 34sylan 471 . . . 4
364eftval 13812 . . . . . 6
3736adantl 466 . . . . 5
381adantr 465 . . . . . . . 8
392adantr 465 . . . . . . . 8
40 simpr 461 . . . . . . . 8
41 binom 13642 . . . . . . . 8
4238, 39, 40, 41syl3anc 1228 . . . . . . 7
4342oveq1d 6311 . . . . . 6
44 fzfid 12083 . . . . . . . 8
45 faccl 12363 . . . . . . . . . 10
4645adantl 466 . . . . . . . . 9
4746nncnd 10577 . . . . . . . 8
48 bccl2 12401 . . . . . . . . . . 11
4948adantl 466 . . . . . . . . . 10
5049nncnd 10577 . . . . . . . . 9
511ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
52 fznn0sub 11745 . . . . . . . . . . . 12
5352adantl 466 . . . . . . . . . . 11
5451, 53expcld 12310 . . . . . . . . . 10
552ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
56 elfznn0 11800 . . . . . . . . . . . 12
5756adantl 466 . . . . . . . . . . 11
5855, 57expcld 12310 . . . . . . . . . 10
5954, 58mulcld 9637 . . . . . . . . 9
6050, 59mulcld 9637 . . . . . . . 8
6146nnne0d 10605 . . . . . . . 8
6244, 47, 60, 61fsumdivc 13601 . . . . . . 7
6351, 57expcld 12310 . . . . . . . . . . 11
6457, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12
6564nncnd 10577 . . . . . . . . . . 11
6664nnne0d 10605 . . . . . . . . . . 11
6763, 65, 66divcld 10345 . . . . . . . . . 10
6831eftval 13812 . . . . . . . . . . . 12
6953, 68syl 16 . . . . . . . . . . 11
7055, 53expcld 12310 . . . . . . . . . . . 12
71 faccl 12363 . . . . . . . . . . . . . 14
7253, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
7372nncnd 10577 . . . . . . . . . . . 12
7472nnne0d 10605 . . . . . . . . . . . 12
7570, 73, 74divcld 10345 . . . . . . . . . . 11
7669, 75eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10
7767, 76mulcld 9637 . . . . . . . . 9
78 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
79 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
8078, 79oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
81 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
8281fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
8380, 82oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
8477, 83fsumrev2 13597 . . . . . . . 8
8531eftval 13812 . . . . . . . . . . . . . 14
8657, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
8786oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
8872, 64nnmulcld 10608 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . 14
9088nnne0d 10605 . . . . . . . . . . . . . 14
9159, 89, 90divrec2d 10349 . . . . . . . . . . . . 13
9254, 73, 58, 65, 74, 66divmuldivd 10386 . . . . . . . . . . . . 13
93 bcval2 12383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9493adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9594oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15
9647adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9761adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9896, 89, 96, 90, 97divdiv32d 10370 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9996, 97dividd 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10099oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10198, 100eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15
10295, 101eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14
103102oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13
10491, 92, 1033eqtr4rd 2509 . . . . . . . . . . . 12
10587, 104eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . 11
106 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107106ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108107addid2d 9802 . . . . . . . . . . . . . . 15
109108oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14
110109oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
111109fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . 13
112110, 111oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12
113109oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14
114 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11557, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
116107, 115nncand 9959 . . . . . . . . . . . . . 14
117113, 116eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13
118117fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
119112, 118oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
12050, 59, 96, 97div23d 10382 . . . . . . . . . . 11
121105, 119, 1203eqtr4rd 2509 . . . . . . . . . 10
122121sumeq2dv 13525 . . . . . . . . 9
123 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13
124123oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
125123fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
126124, 125oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
127123oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
128127fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
129126, 128oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
130129cbvsumv 13518 . . . . . . . . 9
131122, 130syl6eq 2514 . . . . . . . 8
13284, 131eqtr4d 2501 . . . . . . 7
13362, 132eqtr4d 2501 . . . . . 6
13443, 133eqtrd 2498 . . . . 5
13537, 134eqtrd 2498 . . . 4
1361abscld 13267 . . . . . 6
137136recnd 9643 . . . . 5
13825efcllem 13813 . . . . 5
139137, 138syl 16 . . . 4
14031efcllem 13813 . . . . 5
1412, 140syl 16 . . . 4
1429, 28, 30, 33, 35, 135, 139, 141mertens 13695 . . 3
143 efval 13815 . . . . 5
1441, 143syl 16 . . . 4
145 efval 13815 . . . . 5
1462, 145syl 16 . . . 4
147144, 146oveq12d 6314 . . 3
148142, 147breqtrrd 4478 . 2
149 climuni 13375 . 2
1506, 148, 149syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cfz 11701  seqcseq 12107   cexp 12166   cfa 12353   cbc 12380   cabs 13067   cli 13307  sum_csu 13508   ce 13797
This theorem is referenced by:  efadd  13829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803
  Copyright terms: Public domain W3C validator