Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efcllem Unicode version

Theorem efcllem 13813
 Description: Lemma for efcl 13818. The series that defines the exponential function converges, in the case where its argument is nonzero. The ratio test cvgrat 13692 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eftval.1
Assertion
Ref Expression
efcllem
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem efcllem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11144 . 2
2 eqid 2457 . 2
3 halfre 10779 . . 3
43a1i 11 . 2
5 halflt1 10782 . . 3
65a1i 11 . 2
7 2re 10630 . . . 4
8 abscl 13111 . . . 4
9 remulcl 9598 . . . 4
107, 8, 9sylancr 663 . . 3
11 absge0 13120 . . . 4
12 0le2 10651 . . . . 5
13 mulge0 10095 . . . . 5
147, 12, 13mpanl12 682 . . . 4
158, 11, 14syl2anc 661 . . 3
16 flge0nn0 11954 . . 3
1710, 15, 16syl2anc 661 . 2
18 eftval.1 . . . . 5
1918eftval 13812 . . . 4
21 eftcl 13809 . . 3
2220, 21eqeltrd 2545 . 2
238adantr 465 . . . . 5
24 eluznn0 11180 . . . . . . 7
2517, 24sylan 471 . . . . . 6
26 nn0p1nn 10860 . . . . . 6
2725, 26syl 16 . . . . 5
2823, 27nndivred 10609 . . . 4
293a1i 11 . . . 4
3023, 25reexpcld 12327 . . . . 5
31 faccl 12363 . . . . . 6
3225, 31syl 16 . . . . 5
3330, 32nndivred 10609 . . . 4
34 expcl 12184 . . . . . . . 8
3525, 34syldan 470 . . . . . . 7
3635absge0d 13275 . . . . . 6
37 absexp 13137 . . . . . . 7
3825, 37syldan 470 . . . . . 6
3936, 38breqtrd 4476 . . . . 5
4032nnred 10576 . . . . 5
4132nngt0d 10604 . . . . 5
42 divge0 10436 . . . . 5
4330, 39, 40, 41, 42syl22anc 1229 . . . 4
4410adantr 465 . . . . . . . 8
45 peano2nn0 10861 . . . . . . . . . . 11
4617, 45syl 16 . . . . . . . . . 10
4746nn0red 10878 . . . . . . . . 9
4847adantr 465 . . . . . . . 8
4927nnred 10576 . . . . . . . 8
50 flltp1 11937 . . . . . . . . 9
5144, 50syl 16 . . . . . . . 8
52 eluzp1p1 11135 . . . . . . . . . 10
5352adantl 466 . . . . . . . . 9
54 eluzle 11122 . . . . . . . . 9
5553, 54syl 16 . . . . . . . 8
5644, 48, 49, 51, 55ltletrd 9763 . . . . . . 7
5723recnd 9643 . . . . . . . 8
58 2cn 10631 . . . . . . . 8
59 mulcom 9599 . . . . . . . 8
6057, 58, 59sylancl 662 . . . . . . 7
6127nncnd 10577 . . . . . . . 8
6261mulid2d 9635 . . . . . . 7
6356, 60, 623brtr4d 4482 . . . . . 6
64 2pos 10652 . . . . . . . . 9
657, 64pm3.2i 455 . . . . . . . 8
6665a1i 11 . . . . . . 7
67 1red 9632 . . . . . . 7
6827nngt0d 10604 . . . . . . . 8
6949, 68jca 532 . . . . . . 7
70 lt2mul2div 10446 . . . . . . 7
7123, 66, 67, 69, 70syl22anc 1229 . . . . . 6
7263, 71mpbid 210 . . . . 5
73 ltle 9694 . . . . . 6
7428, 3, 73sylancl 662 . . . . 5
7572, 74mpd 15 . . . 4
7628, 29, 33, 43, 75lemul2ad 10511 . . 3
77 peano2nn0 10861 . . . . . . 7
7825, 77syl 16 . . . . . 6
7918eftval 13812 . . . . . 6
8078, 79syl 16 . . . . 5
8180fveq2d 5875 . . . 4
82 absexp 13137 . . . . . . . 8
8378, 82syldan 470 . . . . . . 7
8457, 25expp1d 12311 . . . . . . 7
8583, 84eqtrd 2498 . . . . . 6
86 faccl 12363 . . . . . . . . . 10
8778, 86syl 16 . . . . . . . . 9
8887nnred 10576 . . . . . . . 8
8987nnnn0d 10877 . . . . . . . . 9
9089nn0ge0d 10880 . . . . . . . 8
9188, 90absidd 13254 . . . . . . 7
92 facp1 12358 . . . . . . . 8
9325, 92syl 16 . . . . . . 7
9491, 93eqtrd 2498 . . . . . 6
9585, 94oveq12d 6314 . . . . 5
96 expcl 12184 . . . . . . 7
9778, 96syldan 470 . . . . . 6
9887nncnd 10577 . . . . . 6
9987nnne0d 10605 . . . . . 6
10097, 98, 99absdivd 13286 . . . . 5
10130recnd 9643 . . . . . 6
10232nncnd 10577 . . . . . 6
10332nnne0d 10605 . . . . . 6
10427nnne0d 10605 . . . . . 6
105101, 102, 57, 61, 103, 104divmuldivd 10386 . . . . 5
10695, 100, 1053eqtr4d 2508 . . . 4
10781, 106eqtrd 2498 . . 3
108 halfcn 10780 . . . . 5
10925, 22syldan 470 . . . . . . 7
110109abscld 13267 . . . . . 6
111110recnd 9643 . . . . 5
112 mulcom 9599 . . . . 5
113108, 111, 112sylancr 663 . . . 4
11425, 19syl 16 . . . . . . 7
115114fveq2d 5875 . . . . . 6
116 eftabs 13811 . . . . . . 7
11725, 116syldan 470 . . . . . 6
118115, 117eqtrd 2498 . . . . 5
119118oveq1d 6311 . . . 4
120113, 119eqtrd 2498 . . 3
12176, 107, 1203brtr4d 4482 . 2
1221, 2, 4, 6, 17, 22, 121cvgrat 13692 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cuz 11110   cfl 11927  seqcseq 12107   cexp 12166   cfa 12353   cabs 13067   cli 13307 This theorem is referenced by:  eff  13817  efcvg  13820  reefcl  13822  efaddlem  13828  eftlcvg  13841  effsumlt  13846  eflegeo  13856  eirrlem  13937  expfac  31663 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509
 Copyright terms: Public domain W3C validator