MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efexp Unicode version

Theorem efexp 13836
Description: Exponential function to an integer power. Corollary 15-4.4 of [Gleason] p. 309, restricted to integers. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
efexp

Proof of Theorem efexp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 10894 . . . 4
2 mulcom 9599 . . . 4
31, 2sylan2 474 . . 3
43fveq2d 5875 . 2
5 oveq2 6304 . . . . . 6
65fveq2d 5875 . . . . 5
7 oveq2 6304 . . . . 5
86, 7eqeq12d 2479 . . . 4
9 oveq2 6304 . . . . . 6
109fveq2d 5875 . . . . 5
11 oveq2 6304 . . . . 5
1210, 11eqeq12d 2479 . . . 4
13 oveq2 6304 . . . . . 6
1413fveq2d 5875 . . . . 5
15 oveq2 6304 . . . . 5
1614, 15eqeq12d 2479 . . . 4
17 oveq2 6304 . . . . . 6
1817fveq2d 5875 . . . . 5
19 oveq2 6304 . . . . 5
2018, 19eqeq12d 2479 . . . 4
21 oveq2 6304 . . . . . 6
2221fveq2d 5875 . . . . 5
23 oveq2 6304 . . . . 5
2422, 23eqeq12d 2479 . . . 4
25 ef0 13826 . . . . 5
26 mul01 9780 . . . . . 6
2726fveq2d 5875 . . . . 5
28 efcl 13818 . . . . . 6
2928exp0d 12304 . . . . 5
3025, 27, 293eqtr4a 2524 . . . 4
31 oveq1 6303 . . . . . . 7
3231adantl 466 . . . . . 6
33 nn0cn 10830 . . . . . . . . . 10
34 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . 12
35 adddi 9602 . . . . . . . . . . . 12
3634, 35mp3an3 1313 . . . . . . . . . . 11
37 mulid1 9614 . . . . . . . . . . . . 13
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
3938oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
4036, 39eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
4133, 40sylan2 474 . . . . . . . . 9
4241fveq2d 5875 . . . . . . . 8
43 mulcl 9597 . . . . . . . . . 10
4433, 43sylan2 474 . . . . . . . . 9
45 simpl 457 . . . . . . . . 9
46 efadd 13829 . . . . . . . . 9
4744, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . 8
4842, 47eqtrd 2498 . . . . . . 7
4948adantr 465 . . . . . 6
50 expp1 12173 . . . . . . . 8
5128, 50sylan 471 . . . . . . 7
5251adantr 465 . . . . . 6
5332, 49, 523eqtr4d 2508 . . . . 5
5453exp31 604 . . . 4
55 oveq2 6304 . . . . . 6
56 nncn 10569 . . . . . . . . . 10
57 mulneg2 10019 . . . . . . . . . 10
5856, 57sylan2 474 . . . . . . . . 9
5958fveq2d 5875 . . . . . . . 8
6056, 43sylan2 474 . . . . . . . . 9
61 efneg 13833 . . . . . . . . 9
6260, 61syl 16 . . . . . . . 8
6359, 62eqtrd 2498 . . . . . . 7
64 nnnn0 10827 . . . . . . . 8
65 expneg 12174 . . . . . . . 8
6628, 64, 65syl2an 477 . . . . . . 7
6763, 66eqeq12d 2479 . . . . . 6
6855, 67syl5ibr 221 . . . . 5
6968ex 434 . . . 4
708, 12, 16, 20, 24, 30, 54, 69zindd 10990 . . 3
7170imp 429 . 2
724, 71eqtr3d 2500 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518  -ucneg 9829   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cexp 12166   ce 13797
This theorem is referenced by:  efzval  13837  efgt0  13838  tanval3  13869  demoivre  13935  ef2kpi  22871  efif1olem4  22932  explog  22978  reexplog  22979  relogexp  22980  tanarg  23004  root1eq1  23129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803
  Copyright terms: Public domain W3C validator