Theorem efi4p 13872

Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function of an imaginary number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efi4p.1

Assertion

Ref	Expression
efi4p

Distinct variable groups:   ,,   ,

Proof of Theorem efi4p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 9572	. . . 4
2		mulcl 9597	. . . 4
3	1, 2	mpan 670	. . 3
4		efi4p.1	. . . 4
5	4	ef4p 13848	. . 3
6	3, 5	syl 16	. 2
7		ax-1cn 9571	. . . . . 6
8		addcl 9595	. . . . . 6
9	7, 3, 8	sylancr 663	. . . . 5
10	3	sqcld 12308	. . . . . 6
11	10	halfcld 10808	. . . . 5
12		3nn0 10838	. . . . . . 7
13		expcl 12184	. . . . . . 7
14	3, 12, 13	sylancl 662	. . . . . 6
15		6cn 10642	. . . . . . 7
16		6re 10641	. . . . . . . 8
17		6pos 10659	. . . . . . . 8
18	16, 17	gt0ne0ii 10114	. . . . . . 7
19		divcl 10238	. . . . . . 7
20	15, 18, 19	mp3an23 1316	. . . . . 6
21	14, 20	syl 16	. . . . 5
22	9, 11, 21	addassd 9639	. . . 4
23	7	a1i 11	. . . . 5
24	23, 3, 11, 21	add4d 9826	. . . 4
25		2nn0 10837	. . . . . . . . . . 11
26		mulexp 12205	. . . . . . . . . . 11
27	1, 25, 26	mp3an13 1315	. . . . . . . . . 10
28		i2 12268	. . . . . . . . . . . 12
29	28	oveq1i 6306	. . . . . . . . . . 11
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10
31		sqcl 12230	. . . . . . . . . . 11
32	31	mulm1d 10033	. . . . . . . . . 10
33	27, 30, 32	3eqtrd 2502	. . . . . . . . 9
34	33	oveq1d 6311	. . . . . . . 8
35		2cn 10631	. . . . . . . . . 10
36		2ne0 10653	. . . . . . . . . 10
37		divneg 10264	. . . . . . . . . 10
38	35, 36, 37	mp3an23 1316	. . . . . . . . 9
39	31, 38	syl 16	. . . . . . . 8
40	34, 39	eqtr4d 2501	. . . . . . 7
41	40	oveq2d 6312	. . . . . 6
42	31	halfcld 10808	. . . . . . 7
43		negsub 9890	. . . . . . 7
44	7, 42, 43	sylancr 663	. . . . . 6
45	41, 44	eqtrd 2498	. . . . 5
46		mulexp 12205	. . . . . . . . . . 11
47	1, 12, 46	mp3an13 1315	. . . . . . . . . 10
48		i3 12269	. . . . . . . . . . 11
49	48	oveq1i 6306	. . . . . . . . . 10
50	47, 49	syl6eq 2514	. . . . . . . . 9
51	50	oveq1d 6311	. . . . . . . 8
52		expcl 12184	. . . . . . . . . 10
53	12, 52	mpan2 671	. . . . . . . . 9
54		negicn 9844	. . . . . . . . . 10
55	15, 18	pm3.2i 455	. . . . . . . . . 10
56		divass 10250	. . . . . . . . . 10
57	54, 55, 56	mp3an13 1315	. . . . . . . . 9
58	53, 57	syl 16	. . . . . . . 8
59		divcl 10238	. . . . . . . . . . 11
60	15, 18, 59	mp3an23 1316	. . . . . . . . . 10
61	53, 60	syl 16	. . . . . . . . 9
62		mulneg12 10020	. . . . . . . . 9
63	1, 61, 62	sylancr 663	. . . . . . . 8
64	51, 58, 63	3eqtrd 2502	. . . . . . 7
65	64	oveq2d 6312	. . . . . 6
66	61	negcld 9941	. . . . . . 7
67		adddi 9602	. . . . . . . 8
68	1, 67	mp3an1 1311	. . . . . . 7
69	66, 68	mpdan 668	. . . . . 6
70		negsub 9890	. . . . . . . 8
71	61, 70	mpdan 668	. . . . . . 7
72	71	oveq2d 6312	. . . . . 6
73	65, 69, 72	3eqtr2d 2504	. . . . 5
74	45, 73	oveq12d 6314	. . . 4
75	22, 24, 74	3eqtrd 2502	. . 3
76	75	oveq1d 6311	. 2
77	6, 76	eqtrd 2498	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  ci 9515  caddc 9516  cmul 9518  cmin 9828  -ucneg 9829  cdiv 10231  2c2 10610  3c3 10611  4c4 10612  6c6 10614  cn0 10820  cuz 11110  cexp 12166  cfa 12353  sum_csu 13508  ce 13797

This theorem is referenced by:  resin4p  13873  recos4p  13874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803