MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efi4p Unicode version

Theorem efi4p 13872
Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function of an imaginary number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efi4p.1
Assertion
Ref Expression
efi4p
Distinct variable groups:   , ,   ,

Proof of Theorem efi4p
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9572 . . . 4
2 mulcl 9597 . . . 4
31, 2mpan 670 . . 3
4 efi4p.1 . . . 4
54ef4p 13848 . . 3
63, 5syl 16 . 2
7 ax-1cn 9571 . . . . . 6
8 addcl 9595 . . . . . 6
97, 3, 8sylancr 663 . . . . 5
103sqcld 12308 . . . . . 6
1110halfcld 10808 . . . . 5
12 3nn0 10838 . . . . . . 7
13 expcl 12184 . . . . . . 7
143, 12, 13sylancl 662 . . . . . 6
15 6cn 10642 . . . . . . 7
16 6re 10641 . . . . . . . 8
17 6pos 10659 . . . . . . . 8
1816, 17gt0ne0ii 10114 . . . . . . 7
19 divcl 10238 . . . . . . 7
2015, 18, 19mp3an23 1316 . . . . . 6
2114, 20syl 16 . . . . 5
229, 11, 21addassd 9639 . . . 4
237a1i 11 . . . . 5
2423, 3, 11, 21add4d 9826 . . . 4
25 2nn0 10837 . . . . . . . . . . 11
26 mulexp 12205 . . . . . . . . . . 11
271, 25, 26mp3an13 1315 . . . . . . . . . 10
28 i2 12268 . . . . . . . . . . . 12
2928oveq1i 6306 . . . . . . . . . . 11
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10
31 sqcl 12230 . . . . . . . . . . 11
3231mulm1d 10033 . . . . . . . . . 10
3327, 30, 323eqtrd 2502 . . . . . . . . 9
3433oveq1d 6311 . . . . . . . 8
35 2cn 10631 . . . . . . . . . 10
36 2ne0 10653 . . . . . . . . . 10
37 divneg 10264 . . . . . . . . . 10
3835, 36, 37mp3an23 1316 . . . . . . . . 9
3931, 38syl 16 . . . . . . . 8
4034, 39eqtr4d 2501 . . . . . . 7
4140oveq2d 6312 . . . . . 6
4231halfcld 10808 . . . . . . 7
43 negsub 9890 . . . . . . 7
447, 42, 43sylancr 663 . . . . . 6
4541, 44eqtrd 2498 . . . . 5
46 mulexp 12205 . . . . . . . . . . 11
471, 12, 46mp3an13 1315 . . . . . . . . . 10
48 i3 12269 . . . . . . . . . . 11
4948oveq1i 6306 . . . . . . . . . 10
5047, 49syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
5150oveq1d 6311 . . . . . . . 8
52 expcl 12184 . . . . . . . . . 10
5312, 52mpan2 671 . . . . . . . . 9
54 negicn 9844 . . . . . . . . . 10
5515, 18pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10
56 divass 10250 . . . . . . . . . 10
5754, 55, 56mp3an13 1315 . . . . . . . . 9
5853, 57syl 16 . . . . . . . 8
59 divcl 10238 . . . . . . . . . . 11
6015, 18, 59mp3an23 1316 . . . . . . . . . 10
6153, 60syl 16 . . . . . . . . 9
62 mulneg12 10020 . . . . . . . . 9
631, 61, 62sylancr 663 . . . . . . . 8
6451, 58, 633eqtrd 2502 . . . . . . 7
6564oveq2d 6312 . . . . . 6
6661negcld 9941 . . . . . . 7
67 adddi 9602 . . . . . . . 8
681, 67mp3an1 1311 . . . . . . 7
6966, 68mpdan 668 . . . . . 6
70 negsub 9890 . . . . . . . 8
7161, 70mpdan 668 . . . . . . 7
7271oveq2d 6312 . . . . . 6
7365, 69, 723eqtr2d 2504 . . . . 5
7445, 73oveq12d 6314 . . . 4
7522, 24, 743eqtrd 2502 . . 3
7675oveq1d 6311 . 2
776, 76eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231  2c2 10610  3c3 10611  4c4 10612  6c6 10614   cn0 10820   cuz 11110   cexp 12166   cfa 12353  sum_csu 13508   ce 13797
This theorem is referenced by:  resin4p  13873  recos4p  13874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803
  Copyright terms: Public domain W3C validator