Theorem efieq1re 13934

Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
efieq1re

Proof of Theorem efieq1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 12949	. . . . . . . . 9
2	1	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
3		recl 12943	. . . . . . . . . . 11
4	3	recnd 9643	. . . . . . . . . 10
5		ax-icn 9572	. . . . . . . . . . 11
6		imcl 12944	. . . . . . . . . . . 12
7	6	recnd 9643	. . . . . . . . . . 11
8		mulcl 9597	. . . . . . . . . . 11
9	5, 7, 8	sylancr 663	. . . . . . . . . 10
10		adddi 9602	. . . . . . . . . . 11
11	5, 10	mp3an1 1311	. . . . . . . . . 10
12	4, 9, 11	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
13		ixi 10203	. . . . . . . . . . . 12
14	13	oveq1i 6306	. . . . . . . . . . 11
15		mulass 9601	. . . . . . . . . . . . 13
16	5, 5, 15	mp3an12 1314	. . . . . . . . . . . 12
17	7, 16	syl 16	. . . . . . . . . . 11
18	7	mulm1d 10033	. . . . . . . . . . 11
19	14, 17, 18	3eqtr3a 2522	. . . . . . . . . 10
20	19	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9
21	12, 20	eqtrd 2498	. . . . . . . 8
22	2, 21	eqtrd 2498	. . . . . . 7
23	22	fveq2d 5875	. . . . . 6
24		mulcl 9597	. . . . . . . 8
25	5, 4, 24	sylancr 663	. . . . . . 7
26	6	renegcld 10011	. . . . . . . 8
27	26	recnd 9643	. . . . . . 7
28		efadd 13829	. . . . . . 7
29	25, 27, 28	syl2anc 661	. . . . . 6
30	23, 29	eqtrd 2498	. . . . 5
31	30	eqeq1d 2459	. . . 4
32		efcl 13818	. . . . . . . . 9
33	25, 32	syl 16	. . . . . . . 8
34		efcl 13818	. . . . . . . . 9
35	27, 34	syl 16	. . . . . . . 8
36	33, 35	absmuld 13285	. . . . . . 7
37		absefi 13931	. . . . . . . . 9
38	3, 37	syl 16	. . . . . . . 8
39	26	reefcld 13823	. . . . . . . . 9
40		efgt0 13838	. . . . . . . . . . 11
41	26, 40	syl 16	. . . . . . . . . 10
42		0re 9617	. . . . . . . . . . 11
43		ltle 9694	. . . . . . . . . . 11
44	42, 43	mpan 670	. . . . . . . . . 10
45	39, 41, 44	sylc 60	. . . . . . . . 9
46	39, 45	absidd 13254	. . . . . . . 8
47	38, 46	oveq12d 6314	. . . . . . 7
48	35	mulid2d 9635	. . . . . . 7
49	36, 47, 48	3eqtrrd 2503	. . . . . 6
50		fveq2 5871	. . . . . 6
51	49, 50	sylan9eq 2518	. . . . 5
52	51	ex 434	. . . 4
53	31, 52	sylbid 215	. . 3
54	7	negeq0d 9946	. . . 4
55		reim0b 12952	. . . 4
56		ef0 13826	. . . . . . 7
57		abs1 13130	. . . . . . 7
58	56, 57	eqtr4i 2489	. . . . . 6
59	58	eqeq2i 2475	. . . . 5
60		reef11 13854	. . . . . 6
61	26, 42, 60	sylancl 662	. . . . 5
62	59, 61	syl5bbr 259	. . . 4
63	54, 55, 62	3bitr4rd 286	. . 3
64	53, 63	sylibd 214	. 2
65	64	imp 429	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  ci 9515  caddc 9516  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  -ucneg 9829  cre 12930  cim 12931  cabs 13067  ce 13797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803  df-sin 13805  df-cos 13806