MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efival Unicode version

Theorem efival 13887
Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
efival

Proof of Theorem efival
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9572 . . . . . 6
2 mulcl 9597 . . . . . 6
31, 2mpan 670 . . . . 5
4 efcl 13818 . . . . 5
53, 4syl 16 . . . 4
6 negicn 9844 . . . . . 6
7 mulcl 9597 . . . . . 6
86, 7mpan 670 . . . . 5
9 efcl 13818 . . . . 5
108, 9syl 16 . . . 4
115, 10addcld 9636 . . 3
125, 10subcld 9954 . . 3
13 2cn 10631 . . . . 5
14 2ne0 10653 . . . . 5
1513, 14pm3.2i 455 . . . 4
16 divdir 10255 . . . 4
1715, 16mp3an3 1313 . . 3
1811, 12, 17syl2anc 661 . 2
1910, 5pncan3d 9957 . . . . . 6
2019oveq2d 6312 . . . . 5
215, 10, 12addassd 9639 . . . . 5
2252timesd 10806 . . . . 5
2320, 21, 223eqtr4d 2508 . . . 4
2423oveq1d 6311 . . 3
25 divcan3 10256 . . . . 5
2613, 14, 25mp3an23 1316 . . . 4
275, 26syl 16 . . 3
2824, 27eqtr2d 2499 . 2
29 cosval 13858 . . 3
30 2mulicn 10787 . . . . . . 7
31 2muline0 10788 . . . . . . 7
3230, 31pm3.2i 455 . . . . . 6
33 div12 10254 . . . . . 6
341, 32, 33mp3an13 1315 . . . . 5
3512, 34syl 16 . . . 4
36 sinval 13857 . . . . 5
3736oveq2d 6312 . . . 4
38 divrec 10248 . . . . . . 7
3913, 14, 38mp3an23 1316 . . . . . 6
4012, 39syl 16 . . . . 5
411mulid2i 9620 . . . . . . . 8
4241oveq1i 6306 . . . . . . 7
43 ine0 10017 . . . . . . . . . . 11
441, 43dividi 10302 . . . . . . . . . 10
4544oveq2i 6307 . . . . . . . . 9
46 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . 10
4746, 13, 1, 1, 14, 43divmuldivi 10329 . . . . . . . . 9
4845, 47eqtr3i 2488 . . . . . . . 8
49 halfcn 10780 . . . . . . . . 9
5049mulid1i 9619 . . . . . . . 8
5148, 50eqtr3i 2488 . . . . . . 7
5242, 51eqtr3i 2488 . . . . . 6
5352oveq2i 6307 . . . . 5
5440, 53syl6eqr 2516 . . . 4
5535, 37, 543eqtr4d 2508 . . 3
5629, 55oveq12d 6314 . 2
5718, 28, 563eqtr4d 2508 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231  2c2 10610   ce 13797   csin 13799   ccos 13800
This theorem is referenced by:  efmival  13888  efeul  13897  efieq  13898  sinadd  13899  cosadd  13900  absefi  13931  demoivre  13935  efhalfpi  22864  efipi  22866  ef2pi  22870  efimpi  22884  efif1olem4  22932  1cubrlem  23172  asinsin  23223  atantan  23254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803  df-sin 13805  df-cos 13806
  Copyright terms: Public domain W3C validator