MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eftlub Unicode version

Theorem eftlub 13844
Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eftl.1
eftl.2
eftl.3
eftl.4
eftl.5
eftl.6
Assertion
Ref Expression
eftlub
Distinct variable groups:   , ,   ,   ,   ,M,   ,

Proof of Theorem eftlub
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eftl.5 . . . 4
2 eftl.4 . . . . 5
32nnnn0d 10877 . . . 4
4 eftl.1 . . . . 5
54eftlcl 13842 . . . 4
61, 3, 5syl2anc 661 . . 3
76abscld 13267 . 2
81abscld 13267 . . 3
9 eftl.2 . . . 4
109reeftlcl 13843 . . 3
118, 3, 10syl2anc 661 . 2
128, 3reexpcld 12327 . . 3
13 peano2nn0 10861 . . . . . 6
143, 13syl 16 . . . . 5
1514nn0red 10878 . . . 4
16 faccl 12363 . . . . . 6
173, 16syl 16 . . . . 5
1817, 2nnmulcld 10608 . . . 4
1915, 18nndivred 10609 . . 3
2012, 19remulcld 9645 . 2
21 eqid 2457 . . 3
222nnzd 10993 . . . 4
23 eqidd 2458 . . . 4
24 eluznn0 11180 . . . . . 6
253, 24sylan 471 . . . . 5
264eftval 13812 . . . . . . 7
2726adantl 466 . . . . . 6
28 eftcl 13809 . . . . . . 7
291, 28sylan 471 . . . . . 6
3027, 29eqeltrd 2545 . . . . 5
3125, 30syldan 470 . . . 4
324eftlcvg 13841 . . . . 5
331, 3, 32syl2anc 661 . . . 4
3421, 22, 23, 31, 33isumclim2 13573 . . 3
35 eqidd 2458 . . . 4
369eftval 13812 . . . . . . . 8
3736adantl 466 . . . . . . 7
38 reeftcl 13810 . . . . . . . 8
398, 38sylan 471 . . . . . . 7
4037, 39eqeltrd 2545 . . . . . 6
4125, 40syldan 470 . . . . 5
4241recnd 9643 . . . 4
438recnd 9643 . . . . 5
449eftlcvg 13841 . . . . 5
4543, 3, 44syl2anc 661 . . . 4
4621, 22, 35, 42, 45isumclim2 13573 . . 3
47 eftabs 13811 . . . . . 6
481, 47sylan 471 . . . . 5
4927fveq2d 5875 . . . . 5
5048, 49, 373eqtr4rd 2509 . . . 4
5125, 50syldan 470 . . 3
5221, 34, 46, 22, 31, 51iserabs 13629 . 2
53 nn0uz 11144 . . . 4
54 0zd 10901 . . . 4
552nncnd 10577 . . . . 5
56 nn0cn 10830 . . . . 5
57 nn0ex 10826 . . . . . . . 8
5857mptex 6143 . . . . . . 7
599, 58eqeltri 2541 . . . . . 6
6059shftval4 12910 . . . . 5
6155, 56, 60syl2an 477 . . . 4
62 nn0addcl 10856 . . . . . . 7
633, 62sylan 471 . . . . . 6
649eftval 13812 . . . . . 6
6563, 64syl 16 . . . . 5
668adantr 465 . . . . . 6
67 reeftcl 13810 . . . . . 6
6866, 63, 67syl2anc 661 . . . . 5
6965, 68eqeltrd 2545 . . . 4
70 oveq2 6304 . . . . . . 7
7170oveq2d 6312 . . . . . 6
72 eftl.3 . . . . . 6
73 ovex 6324 . . . . . 6
7471, 72, 73fvmpt 5956 . . . . 5
7574adantl 466 . . . 4
7612, 17nndivred 10609 . . . . . 6
7776adantr 465 . . . . 5
782peano2nnd 10578 . . . . . . 7
7978nnrecred 10606 . . . . . 6
80 reexpcl 12183 . . . . . 6
8179, 80sylan 471 . . . . 5
8277, 81remulcld 9645 . . . 4
8366, 63reexpcld 12327 . . . . . . 7
8412adantr 465 . . . . . . 7
85 faccl 12363 . . . . . . . . . 10
8663, 85syl 16 . . . . . . . . 9
8786nnred 10576 . . . . . . . 8
8887, 82remulcld 9645 . . . . . . 7
893adantr 465 . . . . . . . 8
90 uzid 11124 . . . . . . . . . 10
9122, 90syl 16 . . . . . . . . 9
92 uzaddcl 11166 . . . . . . . . 9
9391, 92sylan 471 . . . . . . . 8
941absge0d 13275 . . . . . . . . 9
9594adantr 465 . . . . . . . 8
96 eftl.6 . . . . . . . . 9
9796adantr 465 . . . . . . . 8
9866, 89, 93, 95, 97leexp2rd 12343 . . . . . . 7
9917adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
100 nnexpcl 12179 . . . . . . . . . . . . 13
10178, 100sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
10299, 101nnmulcld 10608 . . . . . . . . . . 11
103102nnred 10576 . . . . . . . . . 10
1048, 3, 94expge0d 12328 . . . . . . . . . . . 12
10512, 104jca 532 . . . . . . . . . . 11
106105adantr 465 . . . . . . . . . 10
107 faclbnd6 12377 . . . . . . . . . . 11
1083, 107sylan 471 . . . . . . . . . 10
109 lemul1a 10421 . . . . . . . . . 10
110103, 87, 106, 108, 109syl31anc 1231 . . . . . . . . 9
11187, 84remulcld 9645 . . . . . . . . . 10
112102nnrpd 11284 . . . . . . . . . 10
11384, 111, 112lemuldiv2d 11331 . . . . . . . . 9
114110, 113mpbid 210 . . . . . . . 8
11586nncnd 10577 . . . . . . . . . 10
11612recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
117116adantr 465 . . . . . . . . . 10
118102nncnd 10577 . . . . . . . . . 10
119102nnne0d 10605 . . . . . . . . . 10
120115, 117, 118, 119divassd 10380 . . . . . . . . 9
12178nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . 14
122121adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
12378adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
124123nnne0d 10605 . . . . . . . . . . . . 13
125 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . . . 14
126125adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
127122, 124, 126exprecd 12318 . . . . . . . . . . . 12
128127oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
12976recnd 9643 . . . . . . . . . . . . 13
130129adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
131101nncnd 10577 . . . . . . . . . . . 12
132101nnne0d 10605 . . . . . . . . . . . 12
133130, 131, 132divrecd 10348 . . . . . . . . . . 11
13417nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . 13
135134adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
136 facne0 12364 . . . . . . . . . . . . . 14
1373, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
138137adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
139117, 135, 131, 138, 132divdiv1d 10376 . . . . . . . . . . 11
140128, 133, 1393eqtr2rd 2505 . . . . . . . . . 10
141140oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
142120, 141eqtrd 2498 . . . . . . . 8
143114, 142breqtrd 4476 . . . . . . 7
14483, 84, 88, 98, 143letrd 9760 . . . . . 6
14586nngt0d 10604 . . . . . . 7
146 ledivmul 10443 . . . . . . 7
14783, 82, 87, 145, 146syl112anc 1232 . . . . . 6
148144, 147mpbird 232 . . . . 5
14965, 148eqbrtrd 4472 . . . 4
150 0z 10900 . . . . . 6
15122znegcld 10996 . . . . . 6
15259seqshft 12918 . . . . . 6
153150, 151, 152sylancr 663 . . . . 5
154 0cn 9609 . . . . . . . . . . . 12
155 subneg 9891 . . . . . . . . . . . 12
156154, 155mpan 670 . . . . . . . . . . 11
157 addid2 9784 . . . . . . . . . . 11
158156, 157eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
15955, 158syl 16 . . . . . . . . 9
160159seqeq1d 12113 . . . . . . . 8
161160, 46eqbrtrd 4472 . . . . . . 7
162 seqex 12109 . . . . . . . 8
163 climshft 13399 . . . . . . . 8
164151, 162, 163sylancl 662 . . . . . . 7
165161, 164mpbird 232 . . . . . 6
166 ovex 6324 . . . . . . 7
167 sumex 13510 . . . . . . 7
168166, 167breldm 5212 . . . . . 6
169165, 168syl 16 . . . . 5
170153, 169eqeltrd 2545 . . . 4
1712nnge1d 10603 . . . . . . . . . 10
172 1nn 10572 . . . . . . . . . . 11
173 nnleltp1 10943 . . . . . . . . . . 11
174172, 2, 173sylancr 663 . . . . . . . . . 10
175171, 174mpbid 210 . . . . . . . . 9
17614nn0ge0d 10880 . . . . . . . . . 10
17715, 176absidd 13254 . . . . . . . . 9
178175, 177breqtrrd 4478 . . . . . . . 8
179 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
180 ovex 6324 . . . . . . . . . 10
18170, 179, 180fvmpt 5956 . . . . . . . . 9
182181adantl 466 . . . . . . . 8
183121, 178, 182georeclim 13681 . . . . . . 7
18481recnd 9643 . . . . . . . 8
185182, 184eqeltrd 2545 . . . . . . 7
186182oveq2d 6312 . . . . . . . 8
18775, 186eqtr4d 2501 . . . . . . 7
18853, 54, 129, 183, 185, 187isermulc2 13480 . . . . . 6
189 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . 11
190 pncan 9849 . . . . . . . . . . 11
19155, 189, 190sylancl 662 . . . . . . . . . 10
192191oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
193192oveq2d 6312 . . . . . . . 8
19415, 2nndivred 10609 . . . . . . . . . 10
195194recnd 9643 . . . . . . . . 9
196116, 195, 134, 137div23d 10382 . . . . . . . 8
197193, 196eqtr4d 2501 . . . . . . 7
198116, 195, 134, 137divassd 10380 . . . . . . 7
1992nnne0d 10605 . . . . . . . . . 10
200121, 55, 134, 199, 137divdiv1d 10376 . . . . . . . . 9
20155, 134mulcomd 9638 . . . . . . . . . 10
202201oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
203200, 202eqtrd 2498 . . . . . . . 8
204203oveq2d 6312 . . . . . . 7
205197, 198, 2043eqtrd 2502 . . . . . 6
206188, 205breqtrd 4476 . . . . 5
207 seqex 12109 . . . . . 6
208 ovex 6324 . . . . . 6
209207, 208breldm 5212 . . . . 5
210206, 209syl 16 . . . 4
21153, 54, 61, 69, 75, 82, 149, 170, 210isumle 13656 . . 3
212 eqid 2457 . . . . 5
213 fveq2 5871 . . . . 5
21455addid2d 9802 . . . . . . . . 9
215214fveq2d 5875 . . . . . . . 8
216215eleq2d 2527 . . . . . . 7
217216biimpa 484 . . . . . 6
218217, 42syldan 470 . . . . 5
21953, 212, 213, 22, 54, 218isumshft 13651 . . . 4
220215sumeq1d 13523 . . . 4
221219, 220eqtr3d 2500 . . 3
22282recnd 9643 . . . 4
22353, 54, 75, 222, 206isumclim 13572 . . 3
224211, 221, 2233brtr3d 4481 . 2
2257, 11, 20, 52, 224letrd 9760 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110  seqcseq 12107   cexp 12166   cfa 12353   cshi 12899   cabs 13067   cli 13307  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  13919  eirrlem  13937  dveflem  22380  subfaclim  28632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator