MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ege2le3 Unicode version

Theorem ege2le3 13825
Description: Lemma for egt2lt3 13939. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1
erelem1.2
Assertion
Ref Expression
ege2le3

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11144 . . . . . 6
2 0nn0 10835 . . . . . 6
3 1e0p1 11032 . . . . . 6
4 0z 10900 . . . . . . 7
5 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
6 fac0 12356 . . . . . . . . . . . 12
75, 6syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11
87oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
9 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . 11
109div1i 10297 . . . . . . . . . 10
118, 10syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
12 erelem1.2 . . . . . . . . 9
13 1ex 9612 . . . . . . . . 9
1411, 12, 13fvmpt 5956 . . . . . . . 8
152, 14mp1i 12 . . . . . . 7
164, 15seq1i 12121 . . . . . 6
17 1nn0 10836 . . . . . . 7
18 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
19 fac1 12357 . . . . . . . . . . 11
2018, 19syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
2120oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
2221, 10syl6eq 2514 . . . . . . . 8
2322, 12, 13fvmpt 5956 . . . . . . 7
2417, 23mp1i 12 . . . . . 6
251, 2, 3, 16, 24seqp1i 12123 . . . . 5
26 df-2 10619 . . . . 5
2725, 26syl6eqr 2516 . . . 4
2817a1i 11 . . . . 5
29 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . 12
30 1exp 12195 . . . . . . . . . . . 12
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11
3231oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
3332mpteq2ia 4534 . . . . . . . . 9
3412, 33eqtr4i 2489 . . . . . . . 8
3534efcvg 13820 . . . . . . 7
369, 35mp1i 12 . . . . . 6
37 df-e 13804 . . . . . 6
3836, 37syl6breqr 4492 . . . . 5
39 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
4039oveq2d 6312 . . . . . . . 8
41 ovex 6324 . . . . . . . 8
4240, 12, 41fvmpt 5956 . . . . . . 7
4342adantl 466 . . . . . 6
44 faccl 12363 . . . . . . . 8
4544adantl 466 . . . . . . 7
4645nnrecred 10606 . . . . . 6
4743, 46eqeltrd 2545 . . . . 5
4845nnred 10576 . . . . . . 7
4945nngt0d 10604 . . . . . . 7
50 1re 9616 . . . . . . . 8
51 0le1 10101 . . . . . . . 8
52 divge0 10436 . . . . . . . 8
5350, 51, 52mpanl12 682 . . . . . . 7
5448, 49, 53syl2anc 661 . . . . . 6
5554, 43breqtrrd 4478 . . . . 5
561, 28, 38, 47, 55climserle 13485 . . . 4
5727, 56eqbrtrrd 4474 . . 3
5857trud 1404 . 2
59 nnuz 11145 . . . . . 6
60 1zzd 10920 . . . . . 6
612a1i 11 . . . . . . . 8
6247recnd 9643 . . . . . . . 8
631, 61, 62, 38clim2ser 13477 . . . . . . 7
64 0p1e1 10672 . . . . . . . 8
65 seqeq1 12110 . . . . . . . 8
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . 7
6716trud 1404 . . . . . . . 8
6867oveq2i 6307 . . . . . . 7
6963, 66, 683brtr3g 4483 . . . . . 6
70 2cnd 10633 . . . . . . . 8
71 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13
72 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13
73 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . 13
7471, 72, 73fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . 12
7574adantl 466 . . . . . . . . . . 11
76 halfre 10779 . . . . . . . . . . . . 13
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
78 reexpcl 12183 . . . . . . . . . . . . 13
7976, 77, 78sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
8079recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
8175, 80eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10
82 1lt2 10727 . . . . . . . . . . . . . 14
83 2re 10630 . . . . . . . . . . . . . . 15
84 0le2 10651 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 absid 13129 . . . . . . . . . . . . . . 15
8683, 84, 85mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14
8782, 86breqtrri 4477 . . . . . . . . . . . . 13
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
8970, 88, 75georeclim 13681 . . . . . . . . . . 11
90 2m1e1 10675 . . . . . . . . . . . . 13
9190oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . 12
92 2cn 10631 . . . . . . . . . . . . 13
9392div1i 10297 . . . . . . . . . . . 12
9491, 93eqtri 2486 . . . . . . . . . . 11
9589, 94syl6breq 4491 . . . . . . . . . 10
961, 61, 81, 95clim2ser 13477 . . . . . . . . 9
97 seqeq1 12110 . . . . . . . . . 10
9864, 97ax-mp 5 . . . . . . . . 9
99 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
100 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10199, 72, 100fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1022, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
103 halfcn 10780 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104 exp0 12170 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
106102, 105eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . 14
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
1084, 107seq1i 12121 . . . . . . . . . . . 12
109108trud 1404 . . . . . . . . . . 11
110109oveq2i 6307 . . . . . . . . . 10
111110, 90eqtri 2486 . . . . . . . . 9
11296, 98, 1113brtr3g 4483 . . . . . . . 8
113 nnnn0 10827 . . . . . . . . 9
114113, 81sylan2 474 . . . . . . . 8
11571oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
116 erelem1.1 . . . . . . . . . . 11
117 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
118115, 116, 117fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10
119118adantl 466 . . . . . . . . 9
120113, 75sylan2 474 . . . . . . . . . 10
121120oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
122119, 121eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
12359, 60, 70, 112, 114, 122isermulc2 13480 . . . . . . 7
124 2t1e2 10709 . . . . . . 7
125123, 124syl6breq 4491 . . . . . 6
126113, 47sylan2 474 . . . . . 6
127 remulcl 9598 . . . . . . . . 9
12883, 79, 127sylancr 663 . . . . . . . 8
129113, 128sylan2 474 . . . . . . 7
130119, 129eqeltrd 2545 . . . . . 6
131 faclbnd2 12369 . . . . . . . . . . 11
132131adantl 466 . . . . . . . . . 10
133 2nn 10718 . . . . . . . . . . . . . 14
134 nnexpcl 12179 . . . . . . . . . . . . . 14
135133, 77, 134sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
136135nnrpd 11284 . . . . . . . . . . . 12
137136rphalfcld 11297 . . . . . . . . . . 11
13845nnrpd 11284 . . . . . . . . . . 11
139137, 138lerecd 11304 . . . . . . . . . 10
140132, 139mpbid 210 . . . . . . . . 9
141 2cnd 10633 . . . . . . . . . . 11
142135nncnd 10577 . . . . . . . . . . 11
143135nnne0d 10605 . . . . . . . . . . 11
144141, 142, 143divrecd 10348 . . . . . . . . . 10
145 2ne0 10653 . . . . . . . . . . . 12
146 recdiv 10275 . . . . . . . . . . . 12
14792, 145, 146mpanr12 685 . . . . . . . . . . 11
148142, 143, 147syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
149145a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
150 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . . 13
151150adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
152141, 149, 151exprecd 12318 . . . . . . . . . . 11
153152oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
154144, 148, 1533eqtr4rd 2509 . . . . . . . . 9
155140, 154breqtrrd 4478 . . . . . . . 8
156113, 155sylan2 474 . . . . . . 7
157113, 43sylan2 474 . . . . . . 7
158156, 157, 1193brtr4d 4482 . . . . . 6
15959, 60, 69, 125, 126, 130, 158iserle 13482 . . . . 5
160159trud 1404 . . . 4
161 ere 13824 . . . . 5
162161, 50, 83lesubaddi 10136 . . . 4
163160, 162mpbi 208 . . 3
164 df-3 10620 . . 3
165163, 164breqtrri 4477 . 2
16658, 165pm3.2i 455 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  /\wa 369  =wceq 1395   wtru 1396  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610  3c3 10611   cn0 10820   cz 10889  seqcseq 12107   cexp 12166   cfa 12353   cabs 13067   cli 13307   ce 13797   ceu 13798
This theorem is referenced by:  egt2lt3  13939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803  df-e 13804
  Copyright terms: Public domain W3C validator