MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eirrlem Unicode version

Theorem eirrlem 13937
Description: Lemma for eirr 13938. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eirr.1
eirr.2
eirr.3
eirr.4
Assertion
Ref Expression
eirrlem
Distinct variable group:   Q,

Proof of Theorem eirrlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum 13816 . . . . . . . . . 10
2 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
32oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
4 eirr.1 . . . . . . . . . . . 12
5 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12
63, 4, 5fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11
76sumeq2i 13521 . . . . . . . . . 10
81, 7eqtr4i 2489 . . . . . . . . 9
9 nn0uz 11144 . . . . . . . . . 10
10 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
11 eirr.3 . . . . . . . . . . . 12
1211peano2nnd 10578 . . . . . . . . . . 11
1312nnnn0d 10877 . . . . . . . . . 10
14 eqidd 2458 . . . . . . . . . 10
15 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16 1exp 12195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1817oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918mpteq2ia 4534 . . . . . . . . . . . . . 14
204, 19eqtr4i 2489 . . . . . . . . . . . . 13
2120eftval 13812 . . . . . . . . . . . 12
2221adantl 466 . . . . . . . . . . 11
23 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . 13
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
25 eftcl 13809 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25sylan 471 . . . . . . . . . . 11
2722, 26eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10
2820efcllem 13813 . . . . . . . . . . 11
2924, 28syl 16 . . . . . . . . . 10
309, 10, 13, 14, 27, 29isumsplit 13652 . . . . . . . . 9
318, 30syl5eq 2510 . . . . . . . 8
3211nncnd 10577 . . . . . . . . . . . 12
33 pncan 9849 . . . . . . . . . . . 12
3432, 23, 33sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
3534oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
3635sumeq1d 13523 . . . . . . . . 9
3736oveq1d 6311 . . . . . . . 8
3831, 37eqtrd 2498 . . . . . . 7
3938oveq1d 6311 . . . . . 6
40 fzfid 12083 . . . . . . . 8
41 elfznn0 11800 . . . . . . . . 9
4241, 27sylan2 474 . . . . . . . 8
4340, 42fsumcl 13555 . . . . . . 7
446adantl 466 . . . . . . . . . . 11
45 faccl 12363 . . . . . . . . . . . . . 14
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
4746nnrpd 11284 . . . . . . . . . . . 12
4847rpreccld 11295 . . . . . . . . . . 11
4944, 48eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10
509, 10, 13, 14, 49, 29isumrpcl 13655 . . . . . . . . 9
5150rpred 11285 . . . . . . . 8
5251recnd 9643 . . . . . . 7
5343, 52pncan2d 9956 . . . . . 6
5439, 53eqtrd 2498 . . . . 5
5554oveq2d 6312 . . . 4
5611nnnn0d 10877 . . . . . . 7
57 faccl 12363 . . . . . . 7
5856, 57syl 16 . . . . . 6
5958nncnd 10577 . . . . 5
60 ere 13824 . . . . . . 7
6160recni 9629 . . . . . 6
6261a1i 11 . . . . 5
6359, 62, 43subdid 10037 . . . 4
6455, 63eqtr3d 2500 . . 3
65 eirr.4 . . . . . . 7
6665oveq2d 6312 . . . . . 6
67 eirr.2 . . . . . . . 8
6867zcnd 10995 . . . . . . 7
6911nnne0d 10605 . . . . . . 7
7059, 68, 32, 69div12d 10381 . . . . . 6
7166, 70eqtrd 2498 . . . . 5
7211nnred 10576 . . . . . . . . 9
7372leidd 10144 . . . . . . . 8
74 facdiv 12365 . . . . . . . 8
7556, 11, 73, 74syl3anc 1228 . . . . . . 7
7675nnzd 10993 . . . . . 6
7767, 76zmulcld 11000 . . . . 5
7871, 77eqeltrd 2545 . . . 4
7940, 59, 42fsummulc2 13599 . . . . 5
8041adantl 466 . . . . . . . . . . 11
8180, 6syl 16 . . . . . . . . . 10
8281oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
8359adantr 465 . . . . . . . . . 10
8441, 46sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
8584nncnd 10577 . . . . . . . . . 10
86 facne0 12364 . . . . . . . . . . 11
8780, 86syl 16 . . . . . . . . . 10
8883, 85, 87divrecd 10348 . . . . . . . . 9
8982, 88eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
90 permnn 12404 . . . . . . . . 9
9190adantl 466 . . . . . . . 8
9289, 91eqeltrd 2545 . . . . . . 7
9392nnzd 10993 . . . . . 6
9440, 93fsumzcl 13557 . . . . 5
9579, 94eqeltrd 2545 . . . 4
9678, 95zsubcld 10999 . . 3
9764, 96eqeltrd 2545 . 2
98 0zd 10901 . . 3
9958nnrpd 11284 . . . . 5
10099, 50rpmulcld 11301 . . . 4
101100rpgt0d 11288 . . 3
10212peano2nnd 10578 . . . . . . . 8
103102nnred 10576 . . . . . . 7
104 faccl 12363 . . . . . . . . 9
10513, 104syl 16 . . . . . . . 8
106105, 12nnmulcld 10608 . . . . . . 7
107103, 106nndivred 10609 . . . . . 6
10858nnrecred 10606 . . . . . 6
109 abs1 13130 . . . . . . . . . . . 12
110109oveq1i 6306 . . . . . . . . . . 11
111110oveq1i 6306 . . . . . . . . . 10
112111mpteq2i 4535 . . . . . . . . 9
11320, 112eqtr4i 2489 . . . . . . . 8
114 eqid 2457 . . . . . . . 8
115 1le1 10202 . . . . . . . . . 10
116109, 115eqbrtri 4471 . . . . . . . . 9
117116a1i 11 . . . . . . . 8
11820, 113, 114, 12, 24, 117eftlub 13844 . . . . . . 7
11950rprege0d 11292 . . . . . . . 8
120 absid 13129 . . . . . . . 8
121119, 120syl 16 . . . . . . 7
122109oveq1i 6306 . . . . . . . . . 10
12312nnzd 10993 . . . . . . . . . . 11
124 1exp 12195 . . . . . . . . . . 11
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . 10
126122, 125syl5eq 2510 . . . . . . . . 9
127126oveq1d 6311 . . . . . . . 8
128107recnd 9643 . . . . . . . . 9
129128mulid2d 9635 . . . . . . . 8
130127, 129eqtrd 2498 . . . . . . 7
131118, 121, 1303brtr3d 4481 . . . . . 6
13212nnred 10576 . . . . . . . . . 10
133132, 132readdcld 9644 . . . . . . . . 9
134132, 132remulcld 9645 . . . . . . . . 9
135 1red 9632 . . . . . . . . . 10
13611nnge1d 10603 . . . . . . . . . . 11
137 1nn 10572 . . . . . . . . . . . 12
138 nnleltp1 10943 . . . . . . . . . . . 12
139137, 11, 138sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
140136, 139mpbid 210 . . . . . . . . . 10
141135, 132, 132, 140ltadd2dd 9762 . . . . . . . . 9
14212nncnd 10577 . . . . . . . . . . 11
1431422timesd 10806 . . . . . . . . . 10
144 df-2 10619 . . . . . . . . . . . 12
145135, 72, 135, 136leadd1dd 10191 . . . . . . . . . . . 12
146144, 145syl5eqbr 4485 . . . . . . . . . . 11
147 2re 10630 . . . . . . . . . . . . 13
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
14912nngt0d 10604 . . . . . . . . . . . 12
150 lemul1 10419 . . . . . . . . . . . 12
151148, 132, 132, 149, 150syl112anc 1232 . . . . . . . . . . 11
152146, 151mpbid 210 . . . . . . . . . 10
153143, 152eqbrtrrd 4474 . . . . . . . . 9
154103, 133, 134, 141, 153ltletrd 9763 . . . . . . . 8
155 facp1 12358 . . . . . . . . . . . . 13
15656, 155syl 16 . . . . . . . . . . . 12
157156oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
158105nncnd 10577 . . . . . . . . . . . 12
15958nnne0d 10605 . . . . . . . . . . . 12
160158, 59, 159divrecd 10348 . . . . . . . . . . 11
161142, 59, 159divcan3d 10350 . . . . . . . . . . 11
162157, 160, 1613eqtr3rd 2507 . . . . . . . . . 10
163162oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
164108recnd 9643 . . . . . . . . . 10
165158, 164, 142mul32d 9811 . . . . . . . . 9
166163, 165eqtrd 2498 . . . . . . . 8
167154, 166breqtrd 4476 . . . . . . 7
168106nnred 10576 . . . . . . . 8
169106nngt0d 10604 . . . . . . . 8
170 ltdivmul 10442 . . . . . . . 8
171103, 108, 168, 169, 170syl112anc 1232 . . . . . . 7
172167, 171mpbird 232 . . . . . 6
17351, 107, 108, 131, 172lelttrd 9761 . . . . 5
17451, 135, 99ltmuldiv2d 11329 . . . . 5
175173, 174mpbird 232 . . . 4
176 0p1e1 10672 . . . 4
177175, 176syl6breqr 4492 . . 3
178 btwnnz 10964 . . 3
17998, 101, 177, 178syl3anc 1228 . 2
18097, 179pm2.65i 173 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cfz 11701  seqcseq 12107   cexp 12166   cfa 12353   cabs 13067   cli 13307  sum_csu 13508   ceu 13798
This theorem is referenced by:  eirr  13938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803  df-e 13804
  Copyright terms: Public domain W3C validator