MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfi2 Unicode version

Theorem elfi2 7894
Description: The empty intersection need not be considered in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfi2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem elfi2
StepHypRef Expression
1 elex 3118 . . 3
21a1i 11 . 2
3 simpr 461 . . . . 5
4 eldifsni 4156 . . . . . . 7
54adantr 465 . . . . . 6
6 intex 4608 . . . . . 6
75, 6sylib 196 . . . . 5
83, 7eqeltrd 2545 . . . 4
98rexlimiva 2945 . . 3
109a1i 11 . 2
11 elfi 7893 . . . 4
12 vprc 4590 . . . . . . . . . . 11
13 elsni 4054 . . . . . . . . . . . . . 14
1413inteqd 4291 . . . . . . . . . . . . 13
15 int0 4300 . . . . . . . . . . . . 13
1614, 15syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . 12
1716eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
1812, 17mtbiri 303 . . . . . . . . . 10
19 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
20 simpll 753 . . . . . . . . . . 11
2119, 20eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . 10
2218, 21nsyl3 119 . . . . . . . . 9
2322biantrud 507 . . . . . . . 8
24 eldif 3485 . . . . . . . 8
2523, 24syl6bbr 263 . . . . . . 7
2625pm5.32da 641 . . . . . 6
27 ancom 450 . . . . . 6
28 ancom 450 . . . . . 6
2926, 27, 283bitr4g 288 . . . . 5
3029rexbidv2 2964 . . . 4
3111, 30bitrd 253 . . 3
3231expcom 435 . 2
332, 10, 32pm5.21ndd 354 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  i^icin 3474   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  |^|cint 4286  `cfv 5593   cfn 7536   cfi 7890
This theorem is referenced by:  fifo  7912  firest  14830  alexsublem  20544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-fi 7891
  Copyright terms: Public domain W3C validator