Theorem elfi2 7894

Description: The empty intersection need not be considered in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfi2

Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem elfi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3118	. . 3
2	1	a1i 11	. 2
3		simpr 461	. . . . 5
4		eldifsni 4156	. . . . . . 7
5	4	adantr 465	. . . . . 6
6		intex 4608	. . . . . 6
7	5, 6	sylib 196	. . . . 5
8	3, 7	eqeltrd 2545	. . . 4
9	8	rexlimiva 2945	. . 3
10	9	a1i 11	. 2
11		elfi 7893	. . . 4
12		vprc 4590	. . . . . . . . . . 11
13		elsni 4054	. . . . . . . . . . . . . 14
14	13	inteqd 4291	. . . . . . . . . . . . 13
15		int0 4300	. . . . . . . . . . . . 13
16	14, 15	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . 12
17	16	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . 11
18	12, 17	mtbiri 303	. . . . . . . . . 10
19		simpr 461	. . . . . . . . . . 11
20		simpll 753	. . . . . . . . . . 11
21	19, 20	eqeltrrd 2546	. . . . . . . . . 10
22	18, 21	nsyl3 119	. . . . . . . . 9
23	22	biantrud 507	. . . . . . . 8
24		eldif 3485	. . . . . . . 8
25	23, 24	syl6bbr 263	. . . . . . 7
26	25	pm5.32da 641	. . . . . 6
27		ancom 450	. . . . . 6
28		ancom 450	. . . . . 6
29	26, 27, 28	3bitr4g 288	. . . . 5
30	29	rexbidv2 2964	. . . 4
31	11, 30	bitrd 253	. . 3
32	31	expcom 435	. 2
33	2, 10, 32	pm5.21ndd 354	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  cvv 3109  \cdif 3472  i^icin 3474  c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  |^|cint 4286  `cfv 5593  cfn 7536  cfi 7890

This theorem is referenced by:  fifo  7912  firest  14830  alexsublem  20544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-fi 7891