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Theorem elfiun 7910
Description: A finite intersection of elements taken from a union of collections. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Nov-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elfiun
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem elfiun
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3118 . . . 4
21adantl 466 . . 3
3 simpll 753 . . 3
4 simplr 755 . . 3
52, 3, 43jca 1176 . 2
6 elex 3118 . . . . . 6
763anim1i 1182 . . . . 5
873expib 1199 . . . 4
9 elex 3118 . . . . . 6
1093anim1i 1182 . . . . 5
11103expib 1199 . . . 4
12 vex 3112 . . . . . . . . . 10
1312inex1 4593 . . . . . . . . 9
14 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
1513, 14mpbiri 233 . . . . . . . 8
1615a1i 11 . . . . . . 7
1716rexlimivv 2954 . . . . . 6
18173anim1i 1182 . . . . 5
19183expib 1199 . . . 4
208, 11, 193jaoi 1291 . . 3
2120impcom 430 . 2
22 simp1 996 . . . . 5
23 unexg 6601 . . . . . 6
24233adant1 1014 . . . . 5
25 elfi 7893 . . . . 5
2622, 24, 25syl2anc 661 . . . 4
27 simpl1 999 . . . . . . 7
28 eleq1 2529 . . . . . . . 8
29 intex 4608 . . . . . . . 8
3028, 29syl6bbr 263 . . . . . . 7
3127, 30syl5ibcom 220 . . . . . 6
32 simp22 1030 . . . . . . . . . . . . . 14
33 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
35 simp1l 1020 . . . . . . . . . . . . . 14
36 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3837sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3936, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 inss1 3717 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 ssfi 7760 . . . . . . . . . . . . . . 15
4239, 40, 41sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14
43 elfir 7895 . . . . . . . . . . . . . 14
4432, 34, 35, 42, 43syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13
45 simp23 1031 . . . . . . . . . . . . . 14
46 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . . . 15
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
48 simp1r 1021 . . . . . . . . . . . . . 14
49 inss1 3717 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 ssfi 7760 . . . . . . . . . . . . . . 15
5139, 49, 50sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14
52 elfir 7895 . . . . . . . . . . . . . 14
5345, 47, 48, 51, 52syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13
54 inss1 3717 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5554sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655elpwid 4022 . . . . . . . . . . . . . 14
57 indi 3743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
58 df-ss 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5958biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6057, 59syl5reqr 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160inteqd 4291 . . . . . . . . . . . . . . 15
62 intun 4319 . . . . . . . . . . . . . . 15
6361, 62syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . 14
6436, 56, 633syl 20 . . . . . . . . . . . . 13
65 ineq1 3692 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
67 ineq2 3693 . . . . . . . . . . . . . . 15
6867eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
6966, 68rspc2ev 3221 . . . . . . . . . . . . 13
7044, 53, 64, 69syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
71703mix3d 1173 . . . . . . . . . . 11
72713expib 1199 . . . . . . . . . 10
73 simp23 1031 . . . . . . . . . . . . 13
74 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . 15
75 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . . . 16
76 reldisj 3870 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7775, 56, 763syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15
7874, 77mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14
79 uncom 3647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8079difeq1i 3617 . . . . . . . . . . . . . . . 16
81 difun2 3907 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8280, 81eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 difss 3630 . . . . . . . . . . . . . . 15
8482, 83eqsstri 3533 . . . . . . . . . . . . . 14
8578, 84syl6ss 3515 . . . . . . . . . . . . 13
86 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . 13
8775, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
88 elfir 7895 . . . . . . . . . . . . 13
8973, 85, 86, 87, 88syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . 12
90893mix2d 1172 . . . . . . . . . . 11
91903expib 1199 . . . . . . . . . 10
92 simp22 1030 . . . . . . . . . . . . 13
93 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . 15
94 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . . . 16
95 reldisj 3870 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9694, 56, 953syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15
9793, 96mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14
98 difun2 3907 . . . . . . . . . . . . . . 15
99 difss 3630 . . . . . . . . . . . . . . 15
10098, 99eqsstri 3533 . . . . . . . . . . . . . 14
10197, 100syl6ss 3515 . . . . . . . . . . . . 13
102 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . 13
10394, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
104 elfir 7895 . . . . . . . . . . . . 13
10592, 101, 102, 103, 104syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . 12
1061053mix1d 1171 . . . . . . . . . . 11
1071063expib 1199 . . . . . . . . . 10
10872, 91, 107pm2.61iine 2779 . . . . . . . . 9
109 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
110 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
111 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11
1121112rexbidv 2975 . . . . . . . . . 10
113109, 110, 1123orbi123d 1298 . . . . . . . . 9
114108, 113syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8
115114expr 615 . . . . . . 7
116115com23 78 . . . . . 6
11731, 116mpdd 40 . . . . 5
118117rexlimdva 2949 . . . 4
11926, 118sylbid 215 . . 3
120 ssun1 3666 . . . . . . 7
121 fiss 7904 . . . . . . 7
12223, 120, 121sylancl 662 . . . . . 6
1231223adant1 1014 . . . . 5
124123sseld 3502 . . . 4
125 ssun2 3667 . . . . . . 7
126 fiss 7904 . . . . . . 7
12723, 125, 126sylancl 662 . . . . . 6
1281273adant1 1014 . . . . 5
129128sseld 3502 . . . 4
130123sseld 3502 . . . . . . 7
131128sseld 3502 . . . . . . 7
132130, 131anim12d 563 . . . . . 6
133 fiin 7902 . . . . . . 7
134 eleq1a 2540 . . . . . . 7
135133, 134syl 16 . . . . . 6
136132, 135syl6 33 . . . . 5
137136rexlimdvv 2955 . . . 4
138124, 129, 1373jaod 1292 . . 3
139119, 138impbid 191 . 2
1405, 21, 139pm5.21nd 900 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  |^|cint 4286  `cfv 5593   cfn 7536   cfi 7890
This theorem is referenced by:  ordtbas2  19692  ordtbas  19693  fbunfip  20370  fmfnfmlem4  20458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540  df-fi 7891
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