MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfm3 Unicode version

Theorem elfm3 19523
Description: An alternate formulation of elementhood in a mapping filter that requires to be onto. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Oct-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elfm2.l
Assertion
Ref Expression
elfm3
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem elfm3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 foima 5625 . . . 4
21adantl 466 . . 3
3 fofun 5621 . . . 4
4 elfvdm 5716 . . . 4
5 funimaexg 5495 . . . 4
63, 4, 5syl2anr 478 . . 3
72, 6eqeltrrd 2518 . 2
8 fof 5620 . . . . 5
9 elfm2.l . . . . . 6
109elfm2 19521 . . . . 5
118, 10syl3an3 1253 . . . 4
12 fgcl 19451 . . . . . . . . . . . 12
139, 12syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . 11
14133ad2ant2 1010 . . . . . . . . . 10
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
16 simprl 755 . . . . . . . . 9
17 cnvimass 5189 . . . . . . . . . . . 12
18 fofn 5622 . . . . . . . . . . . . 13
19 fndm 5510 . . . . . . . . . . . . 13
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2117, 20syl5sseq 3404 . . . . . . . . . . 11
22213ad2ant3 1011 . . . . . . . . . 10
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
2433ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . 13
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
269eleq2i 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 elfg 19444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
28273ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
3026, 29syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . 14
3130simprbda 623 . . . . . . . . . . . . 13
32 sseq2 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3332biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3420, 33sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15
35343ad2antl3 1152 . . . . . . . . . . . . . 14
3635adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
3731, 36syldan 470 . . . . . . . . . . . 12
38 funimass3 5819 . . . . . . . . . . . 12
3925, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
4039biimpd 207 . . . . . . . . . 10
4140impr 619 . . . . . . . . 9
42 filss 19426 . . . . . . . . 9
4315, 16, 23, 41, 42syl13anc 1220 . . . . . . . 8
44 foimacnv 5658 . . . . . . . . . . 11
4544eqcomd 2448 . . . . . . . . . 10
46453ad2antl3 1152 . . . . . . . . 9
4746adantr 465 . . . . . . . 8
48 imaeq2 5165 . . . . . . . . . 10
4948eqeq2d 2454 . . . . . . . . 9
5049rspcev 3073 . . . . . . . 8
5143, 47, 50syl2anc 661 . . . . . . 7
5251rexlimdvaa 2842 . . . . . 6
5352expimpd 603 . . . . 5
54 simprr 756 . . . . . . . 8
55 imassrn 5180 . . . . . . . . 9
56 forn 5623 . . . . . . . . . . 11
57563ad2ant3 1011 . . . . . . . . . 10
5857adantr 465 . . . . . . . . 9
5955, 58syl5sseq 3404 . . . . . . . 8
6054, 59eqsstrd 3390 . . . . . . 7
61 eqimss2 3409 . . . . . . . . 9
62 imaeq2 5165 . . . . . . . . . . 11
6362sseq1d 3383 . . . . . . . . . 10
6463rspcev 3073 . . . . . . . . 9
6561, 64sylan2 474 . . . . . . . 8
6665adantl 466 . . . . . . 7
6760, 66jca 532 . . . . . 6
6867rexlimdvaa 2842 . . . . 5
6953, 68impbid 191 . . . 4
7011, 69bitrd 253 . . 3
71703coml 1194 . 2
727, 71mpd3an3 1315 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1369  e.wcel 1756  E.wrex 2716   cvv 2972  C_wss 3328  `'ccnv 4839  domcdm 4840  rancrn 4841  "cima 4843  Funwfun 5412  Fnwfn 5413  -->wf 5414  -onto->wfo 5416  `cfv 5418  (class class class)co 6091   cfbas 17804   cfg 17805   cfil 19418   cfm 19506
This theorem is referenced by:  fmid  19533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-fil 19419  df-fm 19511
  Copyright terms: Public domain W3C validator