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Theorem elfznelfzo 11915
Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
elfznelfzo

Proof of Theorem elfznelfzo
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11798 . . 3
2 nn0z 10912 . . . . . . . 8
3 nn0z 10912 . . . . . . . 8
42, 3anim12i 566 . . . . . . 7
543adant3 1016 . . . . . 6
6 elfzom1b 11911 . . . . . 6
75, 6syl 16 . . . . 5
87notbid 294 . . . 4
9 elfzo0 11863 . . . . . . 7
109a1i 11 . . . . . 6
1110notbid 294 . . . . 5
12 3ianor 990 . . . . . . 7
13 elnnne0 10834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14 df-ne 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1514anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1613, 15bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17 nnm1nn0 10862 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1816, 17sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
2019con1d 124 . . . . . . . . . . . . 13
2120imp 429 . . . . . . . . . . . 12
2221orcd 392 . . . . . . . . . . 11
2322ex 434 . . . . . . . . . 10
24233ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9
2524com12 31 . . . . . . . 8
26 ioran 490 . . . . . . . . . . . 12
27 nn1m1nn 10581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
28 df-ne 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
29 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3029ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
31 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3530, 33, 34leltned 9757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
36 necom 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3735, 36syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
39 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4039biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
41 1red 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4241, 32, 41ltsub1d 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
43 1m1e0 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4443breq1i 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
45 1zzd 10920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
463, 45zsubcld 10999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
50 elnnz 10899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5148, 49, 50sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5251ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5344, 52syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5442, 53sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5540, 54syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5655expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5857imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5938, 58sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6059exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6160com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6228, 61sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6362com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6463com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6564ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6665com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6766com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6829ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6931adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
70 1red 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7168, 69, 70lesub1d 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
723ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
73 1zzd 10920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7472, 73zsubcld 10999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
75 nngt0 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
76 0red 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
77 peano2rem 9909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7829, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
80 peano2rem 9909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8131, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8281adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
83 ltletr 9697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8476, 79, 82, 83syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8584ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8685com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8786ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8887com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8975, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9089imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9174, 90, 50sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9291a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9392ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9471, 93sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9594ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9695com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9796ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9867, 97jaoi 379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9927, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10013, 99sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101100ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102101pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
103102com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1041033imp 1190 . . . . . . . . . . . . . . 15
105104com3l 81 . . . . . . . . . . . . . 14
10614, 105sylbir 213 . . . . . . . . . . . . 13
107106imp 429 . . . . . . . . . . . 12
10826, 107sylbi 195 . . . . . . . . . . 11
109108com12 31 . . . . . . . . . 10
110109con1d 124 . . . . . . . . 9
111110com12 31 . . . . . . . 8
11229adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
11331adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
114 1red 9632 . . . . . . . . . . . . . . 15
115112, 113, 1143jca 1176 . . . . . . . . . . . . . 14
1161153adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13
117 ltsub1 10073 . . . . . . . . . . . . 13
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . 12
119118bicomd 201 . . . . . . . . . . 11
120119notbid 294 . . . . . . . . . 10
121 eqlelt 9693 . . . . . . . . . . . . . . 15
12229, 31, 121syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14
123122biimpar 485 . . . . . . . . . . . . 13
124123olcd 393 . . . . . . . . . . . 12
125124exp43 612 . . . . . . . . . . 11
1261253imp 1190 . . . . . . . . . 10
127120, 126sylbid 215 . . . . . . . . 9
128127com12 31 . . . . . . . 8
12925, 111, 1283jaoi 1291 . . . . . . 7
13012, 129sylbi 195 . . . . . 6
131130com12 31 . . . . 5
13211, 131sylbid 215 . . . 4
1338, 132sylbid 215 . . 3
1341, 133sylbi 195 . 2
135134imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cfz 11701   cfzo 11824
This theorem is referenced by:  elfznelfzob  11916  injresinjlem  11925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825
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