MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn Unicode version

Theorem elfznn 11743
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfznn

Proof of Theorem elfznn
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11717 . 2
2 elfzle1 11718 . 2
3 elnnz1 10915 . 2
41, 2, 3sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  1c1 9514   cle 9650   cn 10561   cz 10889   cfz 11701
This theorem is referenced by:  elfz1end  11744  fzossnn  11870  bcm1k  12393  bcpasc  12399  seqcoll  12512  swrd0fv0  12667  swrd0fvlsw  12670  isercolllem2  13488  isercolllem3  13489  isercoll  13490  sumeq2ii  13515  summolem3  13536  summolem2a  13537  fsum  13542  sumz  13544  fsumconst  13605  o1fsum  13627  binomlem  13641  incexc2  13650  climcndslem1  13661  climcndslem2  13662  climcnds  13663  harmonic  13670  arisum2  13672  trireciplem  13673  geo2sum  13682  geo2lim  13684  prodeq2ii  13720  prodmolem3  13740  prodmolem2a  13741  fprod  13748  prod1  13751  fprodfac  13777  fprodconst  13782  rpnnen2lem10  13957  fzm1ndvds  14038  phicl  14299  prmdivdiv  14317  pcfac  14418  pcbc  14419  prmreclem2  14435  prmreclem3  14436  prmreclem4  14437  prmreclem5  14438  prmreclem6  14439  prmrec  14440  4sqlem13  14475  vdwlem2  14500  vdwlem3  14501  vdwlem10  14508  vdwlem12  14510  mulgnnsubcl  16154  mulgnn0z  16162  mulgnndir  16164  oddvdsnn0  16568  odnncl  16569  gexcl3  16607  efgsres  16756  mulgnn0di  16834  gsumconst  16954  srgbinomlem4  17194  chfacfscmulgsum  19361  chfacfpmmulgsum  19365  chfacfpmmulgsum2  19366  cayhamlem1  19367  cpmadugsumlemF  19377  1stcfb  19946  1stckgenlem  20054  lebnumii  21466  ovollb2lem  21899  ovolunlem1a  21907  ovoliunlem1  21913  ovoliunlem2  21914  ovoliun2  21917  ovolscalem1  21924  ovolicc2lem4  21931  voliunlem1  21960  volsup  21966  ioombl1lem4  21971  uniioovol  21988  uniioombllem3a  21993  uniioombllem3  21994  uniioombllem4  21995  uniioombllem5  21996  uniioombllem6  21997  dvply1  22680  aaliou3lem5  22743  aaliou3lem6  22744  dvtaylp  22765  taylthlem2  22769  pserdvlem2  22823  logfac  22985  atantayl  23268  birthdaylem2  23282  emcllem1  23325  emcllem2  23326  emcllem3  23327  emcllem5  23329  emcllem7  23331  harmoniclbnd  23338  harmonicubnd  23339  harmonicbnd4  23340  fsumharmonic  23341  wilthlem1  23342  wilthlem2  23343  ftalem5  23350  basellem1  23354  basellem8  23361  chpf  23397  efchpcl  23399  chpp1  23429  chpwordi  23431  prmorcht  23452  dvdsflf1o  23463  dvdsflsumcom  23464  chtlepsi  23481  fsumvma2  23489  pclogsum  23490  vmasum  23491  logfac2  23492  chpval2  23493  chpchtsum  23494  logfaclbnd  23497  logexprlim  23500  logfacrlim2  23501  pcbcctr  23551  bposlem1  23559  bposlem2  23560  lgscllem  23578  lgsval2lem  23581  lgsval4a  23593  lgsneg  23594  lgsdir  23605  lgsdilem2  23606  lgsdi  23607  lgsne0  23608  lgsqrlem2  23617  lgseisenlem1  23624  lgseisenlem2  23625  lgseisenlem3  23626  lgseisenlem4  23627  lgseisen  23628  lgsquadlem1  23629  lgsquadlem2  23630  lgsquadlem3  23631  chebbnd1lem1  23654  vmadivsum  23667  vmadivsumb  23668  rplogsumlem2  23670  dchrisum0lem1a  23671  rpvmasumlem  23672  dchrisumlem2  23675  dchrmusum2  23679  dchrvmasumlem1  23680  dchrvmasum2lem  23681  dchrvmasum2if  23682  dchrvmasumlem2  23683  dchrvmasumlem3  23684  dchrvmasumiflem1  23686  dchrvmasumiflem2  23687  dchrisum0fno1  23696  rpvmasum2  23697  dchrisum0re  23698  dchrisum0lem1b  23700  dchrisum0lem1  23701  dchrisum0lem2a  23702  dchrisum0lem2  23703  dchrisum0lem3  23704  dchrisum0  23705  dchrmusumlem  23707  dchrvmasumlem  23708  rplogsum  23712  mudivsum  23715  mulogsumlem  23716  mulogsum  23717  mulog2sumlem1  23719  mulog2sumlem2  23720  mulog2sumlem3  23721  vmalogdivsum2  23723  vmalogdivsum  23724  2vmadivsumlem  23725  log2sumbnd  23729  selberglem1  23730  selberglem2  23731  selberglem3  23732  selberg  23733  selbergb  23734  selberg2lem  23735  selberg2  23736  selberg2b  23737  chpdifbndlem1  23738  logdivbnd  23741  selberg3lem1  23742  selberg3lem2  23743  selberg3  23744  selberg4lem1  23745  selberg4  23746  pntrsumo1  23750  pntrsumbnd  23751  pntrsumbnd2  23752  selbergr  23753  selberg3r  23754  selberg4r  23755  selberg34r  23756  pntsf  23758  pntsval2  23761  pntrlog2bndlem1  23762  pntrlog2bndlem2  23763  pntrlog2bndlem3  23764  pntrlog2bndlem4  23765  pntrlog2bndlem5  23766  pntrlog2bndlem6  23768  pntrlog2bnd  23769  pntpbnd2  23772  pntlemf  23790  pntlemk  23791  pntlemo  23792  iseupa  24965  eupares  24975  eupap1  24976  dipcl  25625  dipcn  25633  sspival  25651  esumpcvgval  28084  esumpmono  28085  esumcvg  28092  eulerpartlemgc  28301  ballotlemfc0  28431  ballotlemfcc  28432  ballotlemimin  28444  ballotlemic  28445  ballotlem1c  28446  ballotlemsel1i  28451  ballotlemsf1o  28452  lgamgulm2  28578  lgamcvglem  28582  lgamcvg2  28597  gamcvg2lem  28601  erdszelem4  28638  erdszelem8  28642  erdsze2lem2  28648  cvmliftlem2  28731  cvmliftlem6  28735  cvmliftlem8  28737  cvmliftlem9  28738  cvmliftlem10  28739  risefallfac  29146  risefacfac  29157  fallfacval4  29165  faclim  29171  bpolydiflem  29816  mblfinlem2  30052  eldioph3b  30698  diophin  30706  diophun  30707  eldiophss  30708  fz1ssnn  30744  irrapxlem4  30761  sumnnodd  31636  stoweidlem34  31816  wallispilem4  31850  wallispi  31852  wallispi2lem1  31853  wallispi2  31855  stirlinglem5  31860  stirlinglem7  31862  stirlinglem10  31865  stirlinglem12  31867  fourierdlem83  31972  fourierdlem112  32001  altgsumbcALT  32942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702
  Copyright terms: Public domain W3C validator