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Theorem elfzodifsumelfzo 11882
Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzodifsumelfzo

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11798 . . 3
2 elfz2nn0 11798 . . . . 5
3 elfzo0 11863 . . . . . . . 8
4 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . . 13
5 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . . 13
6 znnsub 10935 . . . . . . . . . . . . 13
74, 5, 6syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12
8 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10 nn0addcl 10856 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118, 9, 10syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . 15
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
13 0red 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
16 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1813, 15, 173jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
20 nn0ge0 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2221anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
23 lelttr 9696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2419, 22, 23sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2524ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
26 0red 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2716adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
28 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
30 ltletr 9697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3126, 27, 29, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
32 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
33 elnnz 10899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3433simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3532, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3731, 36syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3837exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3938com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4039imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4140com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4241adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4325, 42syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4443imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14
47 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4915adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
50 readdcl 9596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5148, 49, 50syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5317adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5628adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5752, 55, 563jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5947adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6015adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6117adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6259, 60, 61ltaddsubd 10177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6362exbiri 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6463com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6564impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6766imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6867adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6968anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . 16
70 ltletr 9697 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7158, 69, 70sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15
7271anasss 647 . . . . . . . . . . . . . 14
73 elfzo0 11863 . . . . . . . . . . . . . 14
7412, 46, 72, 73syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . 13
7574exp53 617 . . . . . . . . . . . 12
767, 75sylbird 235 . . . . . . . . . . 11
77763adant3 1016 . . . . . . . . . 10
7877com14 88 . . . . . . . . 9
79783imp 1190 . . . . . . . 8
803, 79sylbi 195 . . . . . . 7
8180com13 80 . . . . . 6
82813adant1 1014 . . . . 5
832, 82sylbi 195 . . . 4
8483com12 31 . . 3
851, 84sylbi 195 . 2
8685imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cfz 11701   cfzo 11824
This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  11883  swrdco  12803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825
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