MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicopnf Unicode version

Theorem elicopnf 11649
Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicopnf

Proof of Theorem elicopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 11350 . . 3
2 elico2 11617 . . 3
31, 2mpan2 671 . 2
4 ltpnf 11360 . . . . 5
54adantr 465 . . . 4
65pm4.71i 632 . . 3
7 df-3an 975 . . 3
86, 7bitr4i 252 . 2
93, 8syl6bbr 263 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512   cpnf 9646   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cico 11560
This theorem is referenced by:  elrege0  11656  rexico  13186  limsupgle  13300  limsupgre  13304  rlim3  13321  ello12  13339  lo1bdd2  13347  elo12  13350  lo1resb  13387  rlimresb  13388  o1resb  13389  lo1eq  13391  rlimeq  13392  rlimsqzlem  13471  o1fsum  13627  ovolicopnf  21935  dvfsumrlimge0  22431  dvfsumrlim  22432  dvfsumrlim2  22433  cxp2lim  23306  chebbnd1  23657  chtppilimlem1  23658  chtppilimlem2  23659  chtppilim  23660  chebbnd2  23662  chto1lb  23663  chpchtlim  23664  chpo1ub  23665  vmadivsumb  23668  dchrisumlema  23673  dchrisumlem2  23675  dchrisumlem3  23676  dchrmusumlema  23678  dchrmusum2  23679  dchrvmasumlem2  23683  dchrvmasumiflem1  23686  dchrisum0lema  23699  dchrisum0lem1b  23700  dchrisum0lem2a  23702  dchrisum0lem2  23703  2vmadivsumlem  23725  selbergb  23734  selberg2b  23737  chpdifbndlem1  23738  selberg3lem1  23742  selberg3lem2  23743  selberg4lem1  23745  pntrsumo1  23750  selbergsb  23760  pntrlog2bndlem3  23764  pntpbnd1  23771  pntpbnd2  23772  pntibndlem3  23777  pntlemn  23785  pntlem3  23794  pntleml  23796  pnt2  23798  itg2addnclem2  30067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ico 11564
  Copyright terms: Public domain W3C validator