Theorem elioc2 11616

Description: Membership in an open-below, closed-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 30-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elioc2

Proof of Theorem elioc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 9660	. . 3
2		elioc1 11600	. . 3
3	1, 2	sylan2 474	. 2
4		mnfxr 11352	. . . . . . . 8
5	4	a1i 11	. . . . . . 7
6		simpll 753	. . . . . . 7
7		simpr1 1002	. . . . . . 7
8		mnfle 11371	. . . . . . . 8
9	8	ad2antrr 725	. . . . . . 7
10		simpr2 1003	. . . . . . 7
11	5, 6, 7, 9, 10	xrlelttrd 11392	. . . . . 6
12	1	ad2antlr 726	. . . . . . 7
13		pnfxr 11350	. . . . . . . 8
14	13	a1i 11	. . . . . . 7
15		simpr3 1004	. . . . . . 7
16		ltpnf 11360	. . . . . . . 8
17	16	ad2antlr 726	. . . . . . 7
18	7, 12, 14, 15, 17	xrlelttrd 11392	. . . . . 6
19		xrrebnd 11398	. . . . . . 7
20	7, 19	syl 16	. . . . . 6
21	11, 18, 20	mpbir2and 922	. . . . 5
22	21, 10, 15	3jca 1176	. . . 4
23	22	ex 434	. . 3
24		rexr 9660	. . . 4
25	24	3anim1i 1182	. . 3
26	23, 25	impbid1 203	. 2
27	3, 26	bitrd 253	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cr 9512  cpnf 9646  cmnf 9647  cxr 9648  clt 9649  cle 9650  cioc 11559

This theorem is referenced by:  iocssre  11633  ef01bndlem  13919  sin01bnd  13920  cos01bnd  13921  cos1bnd  13922  sinltx  13924  sin01gt0  13925  cos01gt0  13926  sin02gt0  13927  sincos1sgn  13928  sincos2sgn  13929  icoopnst  21439  iocopnst  21440  ismbf3d  22061  aaliou3lem2  22739  aaliou3lem3  22740  pilem2  22847  sinhalfpilem  22856  sincosq1lem  22890  coseq0negpitopi  22896  tangtx  22898  sincos4thpi  22906  efif1olem1  22929  efif1olem2  22930  efif1o  22933  efifo  22934  ellogrn  22947  logimclad  22960  ellogdm  23020  logdmnrp  23022  dvloglem  23029  dvlog2lem  23033  asinneg  23217  atans2  23262  ressatans  23265  abvcxp  23800  ostth2  23822  xrge0iifcv  27916  xrge0iifiso  27917  xrge0iifhom  27919  sinccvglem  29038  dvasin  30103  areacirclem4  30110  gtnelioc  31523  limcicciooub  31643  fourierdlem4  31893  fourierdlem26  31915  fourierdlem33  31922  fourierdlem37  31926  fourierdlem65  31954  fourierdlem79  31968  fouriersw  32014  bj-pinftyccb  34624  bj-pinftynminfty  34630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ioc 11563