MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elixpsn Unicode version

Theorem elixpsn 7528
Description: Membership in a class of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
elixpsn
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem elixpsn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 4039 . . . 4
21ixpeq1d 7501 . . 3
32eleq2d 2527 . 2
4 opeq1 4217 . . . . 5
54sneqd 4041 . . . 4
65eqeq2d 2471 . . 3
76rexbidv 2968 . 2
8 elex 3118 . . 3
9 snex 4693 . . . . 5
10 eleq1 2529 . . . . 5
119, 10mpbiri 233 . . . 4
1211rexlimivw 2946 . . 3
13 eleq1 2529 . . . 4
14 eqeq1 2461 . . . . 5
1514rexbidv 2968 . . . 4
16 vex 3112 . . . . . 6
1716elixp 7496 . . . . 5
18 vex 3112 . . . . . . 7
19 fveq2 5871 . . . . . . . 8
2019eleq1d 2526 . . . . . . 7
2118, 20ralsn 4068 . . . . . 6
2221anbi2i 694 . . . . 5
23 simpl 457 . . . . . . . . 9
24 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
2524eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12
2618, 25ralsn 4068 . . . . . . . . . . 11
2726biimpri 206 . . . . . . . . . 10
2827adantl 466 . . . . . . . . 9
29 ffnfv 6057 . . . . . . . . 9
3023, 28, 29sylanbrc 664 . . . . . . . 8
3118fsn2 6071 . . . . . . . 8
3230, 31sylib 196 . . . . . . 7
33 opeq2 4218 . . . . . . . . . 10
3433sneqd 4041 . . . . . . . . 9
3534eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
3635rspcev 3210 . . . . . . 7
3732, 36syl 16 . . . . . 6
38 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
3918, 38fvsn 6104 . . . . . . . . . 10
40 id 22 . . . . . . . . . 10
4139, 40syl5eqel 2549 . . . . . . . . 9
4218, 38fnsn 5646 . . . . . . . . 9
4341, 42jctil 537 . . . . . . . 8
44 fneq1 5674 . . . . . . . . 9
45 fveq1 5870 . . . . . . . . . 10
4645eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
4744, 46anbi12d 710 . . . . . . . 8
4843, 47syl5ibrcom 222 . . . . . . 7
4948rexlimiv 2943 . . . . . 6
5037, 49impbii 188 . . . . 5
5117, 22, 503bitri 271 . . . 4
5213, 15, 51vtoclbg 3168 . . 3
538, 12, 52pm5.21nii 353 . 2
543, 7, 53vtoclbg 3168 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  {csn 4029  <.cop 4035  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  X_cixp 7489
This theorem is referenced by:  ixpsnf1o  7529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ixp 7490
  Copyright terms: Public domain W3C validator