Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello1d Unicode version

Theorem ello1d 13346
 Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1
ello1mpt.2
ello1d.3
ello1d.4
ello1d.5
Assertion
Ref Expression
ello1d
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,M

Proof of Theorem ello1d
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1d.3 . . 3
2 ello1d.4 . . 3
3 ello1d.5 . . . . 5
43expr 615 . . . 4
54ralrimiva 2871 . . 3
6 breq1 4455 . . . . . 6
76imbi1d 317 . . . . 5
87ralbidv 2896 . . . 4
9 breq2 4456 . . . . . 6
109imbi2d 316 . . . . 5
1110ralbidv 2896 . . . 4
128, 11rspc2ev 3221 . . 3
131, 2, 5, 12syl3anc 1228 . 2
14 ello1mpt.1 . . 3
15 ello1mpt.2 . . 3
1614, 15ello1mpt 13344 . 2
1713, 16mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cr 9512   cle 9650   clo1 13310 This theorem is referenced by:  elo1d  13359  o1lo12  13361  icco1  13363  lo1const  13443  dirith2  23713  pntrlog2bndlem4  23765  pntrlog2bndlem6  23768 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ico 11564  df-lo1 13314
 Copyright terms: Public domain W3C validator