MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello1mpt Unicode version

Theorem ello1mpt 13344
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1
ello1mpt.2
Assertion
Ref Expression
ello1mpt
Distinct variable groups:   , , ,   , ,   , , ,

Proof of Theorem ello1mpt
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1mpt.2 . . . 4
2 eqid 2457 . . . 4
31, 2fmptd 6055 . . 3
4 ello1mpt.1 . . 3
5 ello12 13339 . . 3
63, 4, 5syl2anc 661 . 2
7 nfv 1707 . . . . . 6
8 nffvmpt1 5879 . . . . . . 7
9 nfcv 2619 . . . . . . 7
10 nfcv 2619 . . . . . . 7
118, 9, 10nfbr 4496 . . . . . 6
127, 11nfim 1920 . . . . 5
13 nfv 1707 . . . . 5
14 breq2 4456 . . . . . 6
15 fveq2 5871 . . . . . . 7
1615breq1d 4462 . . . . . 6
1714, 16imbi12d 320 . . . . 5
1812, 13, 17cbvral 3080 . . . 4
19 simpr 461 . . . . . . . 8
202fvmpt2 5963 . . . . . . . 8
2119, 1, 20syl2anc 661 . . . . . . 7
2221breq1d 4462 . . . . . 6
2322imbi2d 316 . . . . 5
2423ralbidva 2893 . . . 4
2518, 24syl5bb 257 . . 3
26252rexbidv 2975 . 2
276, 26bitrd 253 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  -->wf 5589  `cfv 5593   cr 9512   cle 9650   clo1 13310
This theorem is referenced by:  ello1mpt2  13345  ello1d  13346  elo1mpt  13357  o1lo1  13360  lo1resb  13387  lo1add  13449  lo1mul  13450  lo1le  13474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ico 11564  df-lo1 13314
  Copyright terms: Public domain W3C validator