MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn0z Unicode version

Theorem elnn0z 10902
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z

Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 elnn0 10822 . 2
2 elnnz 10899 . . 3
3 eqcom 2466 . . 3
42, 3orbi12i 521 . 2
5 id 22 . . . . . 6
6 0z 10900 . . . . . . 7
7 eleq1 2529 . . . . . . 7
86, 7mpbii 211 . . . . . 6
95, 8jaoi 379 . . . . 5
10 orc 385 . . . . 5
119, 10impbii 188 . . . 4
1211anbi1i 695 . . 3
13 ordir 865 . . 3
14 0re 9617 . . . . 5
15 zre 10893 . . . . 5
16 leloe 9692 . . . . 5
1714, 15, 16sylancr 663 . . . 4
1817pm5.32i 637 . . 3
1912, 13, 183bitr4i 277 . 2
201, 4, 193bitri 271 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452   cr 9512  0cc0 9513   clt 9649   cle 9650   cn 10561   cn0 10820   cz 10889
This theorem is referenced by:  nn0zrab  10918  znn0sub  10936  nn0ind  10984  fnn0ind  10988  fznn0  11799  elfz0ubfz0  11807  elfz0fzfz0  11808  fz0fzelfz0  11809  elfzmlbp  11815  difelfzle  11817  difelfznle  11818  elfzo0z  11865  fzofzim  11869  ubmelm1fzo  11908  flge0nn0  11954  zmodcl  12015  zsqcl2  12245  wrdsymb0  12575  swrdswrdlem  12684  swrdswrd  12685  swrdccatin2  12712  swrdccatin12lem2  12714  swrdccatin12lem3  12715  repswswrd  12756  cshwidxmod  12774  nn0abscl  13145  iseralt  13507  oexpneg  14049  divalglem2  14053  divalglem8  14058  divalglem10  14060  divalgb  14062  bitsinv1lem  14091  algcvga  14208  iserodd  14359  pockthlem  14423  4sqlem14  14476  cshwshashlem2  14581  chfacfscmul0  19359  chfacfpmmul0  19363  taylfvallem1  22752  tayl0  22757  leibpilem1  23271  basellem3  23356  bcmono  23552  clwlkisclwwlklem2a1  24779  clwlkisclwwlklem2fv2  24783  clwlkisclwwlklem2a  24785  wwlksubclwwlk  24804  binomrisefac  29164  irrapxlem1  30758  rmynn0  30895  rmyabs  30896  jm2.22  30937  jm2.23  30938  jm2.27a  30947  jm2.27c  30949  hashgcdlem  31157  dvnprodlem1  31743  wallispilem4  31850  stirlinglem5  31860  elaa2lem  32016  etransclem3  32020  etransclem7  32024  etransclem10  32027  etransclem19  32036  etransclem20  32037  etransclem21  32038  etransclem22  32039  etransclem24  32041  etransclem27  32044  zm1nn  32325  lesubnn0  32326  eluzge0nn0  32329  elfz2z  32331  2elfz2melfz  32334  subsubelfzo0  32338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890
  Copyright terms: Public domain W3C validator