MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnnn0 Unicode version

Theorem elnnnn0 10569
Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnnnn0

Proof of Theorem elnnnn0
StepHypRef Expression
1 nncn 10276 . 2
2 ax-1cn 9286 . . . . . 6
3 npcan 9565 . . . . . 6
42, 3mpan2 656 . . . . 5
54eleq1d 2488 . . . 4
6 subcl 9555 . . . . . 6
72, 6mpan2 656 . . . . 5
87biantrurd 498 . . . 4
95, 8bitr3d 249 . . 3
10 elnn0nn 10568 . . 3
119, 10syl6bbr 257 . 2
121, 11biadan2 627 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 178  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  (class class class)co 6061   cc 9226  1c1 9229   caddc 9231   cmin 9541   cn 10268   cn0 10525
This theorem is referenced by:  facnn2  12001  faclbnd4lem1  12010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-ltxr 9369  df-sub 9543  df-nn 10269  df-n0 10526
  Copyright terms: Public domain W3C validator