MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnz Unicode version

Theorem elnnz 10899
Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
elnnz

Proof of Theorem elnnz
StepHypRef Expression
1 nnre 10568 . . . 4
2 orc 385 . . . 4
3 nngt0 10590 . . . 4
41, 2, 3jca31 534 . . 3
5 idd 24 . . . . . . 7
6 lt0neg2 10084 . . . . . . . . . . . 12
7 renegcl 9905 . . . . . . . . . . . . 13
8 0re 9617 . . . . . . . . . . . . 13
9 ltnsym 9704 . . . . . . . . . . . . 13
107, 8, 9sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12
116, 10sylbid 215 . . . . . . . . . . 11
1211imp 429 . . . . . . . . . 10
13 nngt0 10590 . . . . . . . . . 10
1412, 13nsyl 121 . . . . . . . . 9
15 gt0ne0 10042 . . . . . . . . . 10
1615neneqd 2659 . . . . . . . . 9
17 ioran 490 . . . . . . . . 9
1814, 16, 17sylanbrc 664 . . . . . . . 8
1918pm2.21d 106 . . . . . . 7
205, 19jaod 380 . . . . . 6
2120ex 434 . . . . 5
2221com23 78 . . . 4
2322imp31 432 . . 3
244, 23impbii 188 . 2
25 elz 10891 . . . 4
26 3orrot 979 . . . . . 6
27 3orass 976 . . . . . 6
2826, 27bitri 249 . . . . 5
2928anbi2i 694 . . . 4
3025, 29bitri 249 . . 3
3130anbi1i 695 . 2
3224, 31bitr4i 252 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452   cr 9512  0cc0 9513   clt 9649  -ucneg 9829   cn 10561   cz 10889
This theorem is referenced by:  elnn0z  10902  nnssz  10909  elnnz1  10915  znnsub  10935  nn0ge0div  10957  msqznn  10969  elfz1b  11777  lbfzo0  11862  fzo1fzo0n0  11864  elfzo0z  11865  fzofzim  11869  elfzodifsumelfzo  11882  elfznelfzo  11915  nnesq  12290  ccatval1lsw  12602  swrdlsw  12677  2swrd1eqwrdeq  12679  swrdccatin12lem3  12715  repswswrd  12756  cshwcsh2id  12796  swrd2lsw  12890  2swrd2eqwrdeq  12891  nnabscl  13158  iseralt  13507  sqr2irrlem  13981  nndivdvds  13992  ndvdsadd  14066  bitsfzolem  14084  sqgcd  14196  prmind2  14228  qredeu  14248  qgt0numnn  14284  oddprm  14339  pythagtriplem6  14345  pythagtriplem11  14349  pythagtriplem13  14351  pythagtriplem19  14357  pc2dvds  14402  pcadd  14408  prmreclem3  14436  4sqlem11  14473  4sqlem12  14474  cshwshashlem2  14581  subgmulg  16215  znidomb  18600  sgmnncl  23421  dvdsdivcl  23457  muinv  23469  mersenne  23502  bposlem6  23564  lgseisenlem1  23624  lgsquadlem1  23629  lgsquadlem2  23630  2sqlem8  23647  dchrisum0flblem2  23694  clwlkisclwwlklem2a2  24780  clwlkisclwwlklem2a4  24784  clwlkisclwwlklem2a  24785  mblfinlem2  30052  nn0prpwlem  30140  irrapxlem4  30761  rmspecnonsq  30843  rmynn  30894  jm2.24  30901  jm2.23  30938  jm2.20nn  30939  jm2.27a  30947  jm2.27c  30949  rmydioph  30956  jm3.1lem3  30961  sumnnodd  31636  dvnxpaek  31739  dirkertrigeqlem3  31882  fourierdlem47  31936  fouriersw  32014  etransclem15  32032  etransclem24  32041  etransclem25  32042  etransclem35  32052  etransclem48  32065  zm1nn  32325  ztprmneprm  32936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-z 10890
  Copyright terms: Public domain W3C validator