MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elo12 Unicode version

Theorem elo12 13350
Description: Elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elo12
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,

Proof of Theorem elo12
StepHypRef Expression
1 cnex 9594 . . . 4
2 reex 9604 . . . 4
3 elpm2r 7456 . . . 4
41, 2, 3mpanl12 682 . . 3
5 elo1 13349 . . . 4
65baib 903 . . 3
74, 6syl 16 . 2
8 elin 3686 . . . . . . . 8
9 fdm 5740 . . . . . . . . . . . 12
109ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11
1110eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10
1211anbi1d 704 . . . . . . . . 9
13 simpllr 760 . . . . . . . . . . . 12
14 elicopnf 11649 . . . . . . . . . . . 12
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11
16 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . 13
1716sselda 3503 . . . . . . . . . . . 12
1817biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11
1915, 18bitr4d 256 . . . . . . . . . 10
2019pm5.32da 641 . . . . . . . . 9
2112, 20bitrd 253 . . . . . . . 8
228, 21syl5bb 257 . . . . . . 7
2322imbi1d 317 . . . . . 6
24 impexp 446 . . . . . 6
2523, 24syl6bb 261 . . . . 5
2625ralbidv2 2892 . . . 4
2726rexbidva 2965 . . 3
2827rexbidva 2965 . 2
297, 28bitrd 253 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  domcdm 5004  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cpm 7440   cc 9511   cr 9512   cpnf 9646   cle 9650   cico 11560   cabs 13067   co1 13309
This theorem is referenced by:  elo12r  13351  o1bdd  13354  lo1o1  13355  o1co  13409  rlimo1  13439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ico 11564  df-o1 13313
  Copyright terms: Public domain W3C validator