Theorem elovmpt2rab 6521

Description: Implications for the value of an operation, defined by the maps-to notation with a class abstraction as a result, having an element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
elovmpt2rab.o
elovmpt2rab.v

Assertion

Ref	Expression
elovmpt2rab

Distinct variable groups:   ,M,,   ,,,   ,,,   ,

Proof of Theorem elovmpt2rab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmpt2rab.o	. . 3
2	1	elmpt2cl 6517	. 2
3	1	a1i 11	. . . . 5
4		sbceq1a 3338	. . . . . . . 8
5		sbceq1a 3338	. . . . . . . 8
6	4, 5	sylan9bbr 700	. . . . . . 7
7	6	adantl 466	. . . . . 6
8	7	rabbidv 3101	. . . . 5
9		eqidd 2458	. . . . 5
10		simpl 457	. . . . 5
11		simpr 461	. . . . 5
12		elovmpt2rab.v	. . . . . 6
13		rabexg 4602	. . . . . 6
14	12, 13	syl 16	. . . . 5
15		nfcv 2619	. . . . . . 7
16	15	nfel1 2635	. . . . . 6
17		nfcv 2619	. . . . . . 7
18	17	nfel1 2635	. . . . . 6
19	16, 18	nfan 1928	. . . . 5
20		nfcv 2619	. . . . . . 7
21	20	nfel1 2635	. . . . . 6
22		nfcv 2619	. . . . . . 7
23	22	nfel1 2635	. . . . . 6
24	21, 23	nfan 1928	. . . . 5
25		nfsbc1v 3347	. . . . . 6
26		nfcv 2619	. . . . . 6
27	25, 26	nfrab 3039	. . . . 5
28		nfsbc1v 3347	. . . . . . 7
29	20, 28	nfsbc 3349	. . . . . 6
30		nfcv 2619	. . . . . 6
31	29, 30	nfrab 3039	. . . . 5
32	3, 8, 9, 10, 11, 14, 19, 24, 20, 17, 27, 31	ovmpt2dxf 6428	. . . 4
33	32	eleq2d 2527	. . 3
34		elrabi 3254	. . . . 5
35		df-3an 975	. . . . . 6
36	35	simplbi2com 627	. . . . 5
37	34, 36	syl 16	. . . 4
38	37	com12 31	. . 3
39	33, 38	sylbid 215	. 2
40	2, 39	mpcom 36	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  cvv 3109  [.wsbc 3327  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301