Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elovmpt2rab Unicode version

Theorem elovmpt2rab 6521
 Description: Implications for the value of an operation, defined by the maps-to notation with a class abstraction as a result, having an element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
elovmpt2rab.o
elovmpt2rab.v
Assertion
Ref Expression
elovmpt2rab
Distinct variable groups:   ,M,,   ,,,   ,,,   ,

Proof of Theorem elovmpt2rab
StepHypRef Expression
1 elovmpt2rab.o . . 3
21elmpt2cl 6517 . 2
31a1i 11 . . . . 5
4 sbceq1a 3338 . . . . . . . 8
5 sbceq1a 3338 . . . . . . . 8
64, 5sylan9bbr 700 . . . . . . 7
76adantl 466 . . . . . 6
87rabbidv 3101 . . . . 5
9 eqidd 2458 . . . . 5
10 simpl 457 . . . . 5
11 simpr 461 . . . . 5
12 elovmpt2rab.v . . . . . 6
13 rabexg 4602 . . . . . 6
1412, 13syl 16 . . . . 5
15 nfcv 2619 . . . . . . 7
1615nfel1 2635 . . . . . 6
17 nfcv 2619 . . . . . . 7
1817nfel1 2635 . . . . . 6
1916, 18nfan 1928 . . . . 5
20 nfcv 2619 . . . . . . 7
2120nfel1 2635 . . . . . 6
22 nfcv 2619 . . . . . . 7
2322nfel1 2635 . . . . . 6
2421, 23nfan 1928 . . . . 5
25 nfsbc1v 3347 . . . . . 6
26 nfcv 2619 . . . . . 6
2725, 26nfrab 3039 . . . . 5
28 nfsbc1v 3347 . . . . . . 7
2920, 28nfsbc 3349 . . . . . 6
30 nfcv 2619 . . . . . 6
3129, 30nfrab 3039 . . . . 5
323, 8, 9, 10, 11, 14, 19, 24, 20, 17, 27, 31ovmpt2dxf 6428 . . . 4
3332eleq2d 2527 . . 3
34 elrabi 3254 . . . . 5
35 df-3an 975 . . . . . 6
3635simplbi2com 627 . . . . 5
3734, 36syl 16 . . . 4
3837com12 31 . . 3
3933, 38sylbid 215 . 2
402, 39mpcom 36 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811   cvv 3109  [.wsbc 3327  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301
 Copyright terms: Public domain W3C validator