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Theorem elovmpt3rab1 6536
Description: Implications for the value of an operation defined by the maps-to notation with a function into a class abstraction as a result having an element. The domain of the function and the base set of the class abstraction may depend on the operands, using implicit substitution. (Contributed by AV, 16-Jul-2018.) (Revised by AV, 16-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ovmpt3rab1.o
ovmpt3rab1.m
ovmpt3rab1.n
Assertion
Ref Expression
elovmpt3rab1
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,   N,   , ,   , , , ,   , , , ,   ,   ,   ,   ,   , ,

Proof of Theorem elovmpt3rab1
StepHypRef Expression
1 ovmpt3rab1.o . . . 4
21elovmpt3imp 6533 . . 3
3 simprl 756 . . . . 5
4 elfvdm 5897 . . . . . . 7
5 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
65adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
7 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14
8 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14
9 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14
10 ovmpt3rab1.m . . . . . . . . . . . . . . 15
11 ovmpt3rab1.n . . . . . . . . . . . . . . 15
121, 10, 11ovmpt3rabdm 6535 . . . . . . . . . . . . . 14
136, 7, 8, 9, 12syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . 13
1413eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12
1514biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11
1615adantr 465 . . . . . . . . . 10
1716imp 429 . . . . . . . . 9
18 simpl 457 . . . . . . . . . 10
19 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
21 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2221anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23 df-3an 975 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2422, 23sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15
2524ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14
26 sbceq1a 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
27 sbceq1a 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2826, 27sylan9bbr 700 . . . . . . . . . . . . . . . 16
29 nfsbc1v 3347 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
31 nfsbc1v 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3230, 31nfsbc 3349 . . . . . . . . . . . . . . . 16
331, 10, 11, 28, 29, 32ovmpt3rab1 6534 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433fveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14
3525, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
36 rabexg 4602 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14
39 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 nfsbc1v 3347 . . . . . . . . . . . . . . . 16
41 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4240, 41nfrab 3039 . . . . . . . . . . . . . . 15
43 sbceq1a 3338 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443rabbidv 3101 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
4639, 42, 44, 45fvmptf 5972 . . . . . . . . . . . . . 14
4738, 46sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13
4835, 47eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . 12
4920, 48eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . 11
50 elrabi 3254 . . . . . . . . . . 11
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . 10
5218, 51jca 532 . . . . . . . . 9
5317, 52mpancom 669 . . . . . . . 8
5453exp31 604 . . . . . . 7
554, 54mpcom 36 . . . . . 6
5655imp 429 . . . . 5
573, 56jca 532 . . . 4
5857exp32 605 . . 3
592, 58mpd 15 . 2
6059com12 31 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811   cvv 3109  [.wsbc 3327  e.cmpt 4510  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298
This theorem is referenced by:  elovmpt3rab  6537  elovmptnn0wrd  12584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301
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