MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elunirn Unicode version

Theorem elunirn 6163
Description: Membership in the union of the range of a function. See elunirnALT 6164 for a shorter proof which uses ax-pow 4630. (Contributed by NM, 24-Sep-2006.)
Assertion
Ref Expression
elunirn
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem elunirn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni 4252 . 2
2 funfn 5622 . . . . . . . 8
3 fvelrnb 5920 . . . . . . . 8
42, 3sylbi 195 . . . . . . 7
54anbi2d 703 . . . . . 6
6 r19.42v 3012 . . . . . 6
75, 6syl6bbr 263 . . . . 5
8 eleq2 2530 . . . . . . 7
98biimparc 487 . . . . . 6
109reximi 2925 . . . . 5
117, 10syl6bi 228 . . . 4
1211exlimdv 1724 . . 3
13 fvelrn 6024 . . . . . . 7
1413a1d 25 . . . . . 6
1514ancld 553 . . . . 5
16 fvex 5881 . . . . . 6
17 eleq2 2530 . . . . . . 7
18 eleq1 2529 . . . . . . 7
1917, 18anbi12d 710 . . . . . 6
2016, 19spcev 3201 . . . . 5
2115, 20syl6 33 . . . 4
2221rexlimdva 2949 . . 3
2312, 22impbid 191 . 2
241, 23syl5bb 257 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808  U.cuni 4249  domcdm 5004  rancrn 5005  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  fnunirn  6165  fin23lem30  8743  ustn0  20723  elrnust  20727  ustbas  20730  metuvalOLD  21052  metuval  21053  elunirn2  27489  metidval  27869  pstmval  27874  elunirnmbfm  28224  fourierdlem70  31959  fourierdlem71  31960  fourierdlem80  31969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator