MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elxp5 Unicode version

Theorem elxp5 6745
Description: Membership in a Cartesian product requiring no quantifiers or dummy variables. Provides a slightly shorter version of elxp4 6744 when the double intersection does not create class existence problems (caused by int0 4300). (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
elxp5

Proof of Theorem elxp5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 5021 . 2
2 sneq 4039 . . . . . . . . . . . 12
32rneqd 5235 . . . . . . . . . . 11
43unieqd 4259 . . . . . . . . . 10
5 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
6 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
75, 6op2nda 5498 . . . . . . . . . 10
84, 7syl6req 2515 . . . . . . . . 9
98pm4.71ri 633 . . . . . . . 8
109anbi1i 695 . . . . . . 7
11 anass 649 . . . . . . 7
1210, 11bitri 249 . . . . . 6
1312exbii 1667 . . . . 5
14 snex 4693 . . . . . . . 8
1514rnex 6734 . . . . . . 7
1615uniex 6596 . . . . . 6
17 opeq2 4218 . . . . . . . 8
1817eqeq2d 2471 . . . . . . 7
19 eleq1 2529 . . . . . . . 8
2019anbi2d 703 . . . . . . 7
2118, 20anbi12d 710 . . . . . 6
2216, 21ceqsexv 3146 . . . . 5
2313, 22bitri 249 . . . 4
24 inteq 4289 . . . . . . . 8
2524inteqd 4291 . . . . . . 7
265, 16op1stb 4722 . . . . . . 7
2725, 26syl6req 2515 . . . . . 6
2827pm4.71ri 633 . . . . 5
2928anbi1i 695 . . . 4
30 anass 649 . . . 4
3123, 29, 303bitri 271 . . 3
3231exbii 1667 . 2
33 eqvisset 3117 . . . . 5
3433adantr 465 . . . 4
3534exlimiv 1722 . . 3
36 elex 3118 . . . 4
3736ad2antrl 727 . . 3
38 opeq1 4217 . . . . . 6
3938eqeq2d 2471 . . . . 5
40 eleq1 2529 . . . . . 6
4140anbi1d 704 . . . . 5
4239, 41anbi12d 710 . . . 4
4342ceqsexgv 3232 . . 3
4435, 37, 43pm5.21nii 353 . 2
451, 32, 443bitri 271 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  {csn 4029  <.cop 4035  U.cuni 4249  |^|cint 4286  X.cxp 5002  rancrn 5005
This theorem is referenced by:  xpnnenOLD  13943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015
  Copyright terms: Public domain W3C validator