Theorem elxrge0 11658

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 975	. 2
2		0xr 9661	. . 3
3		pnfxr 11350	. . 3
4		elicc1 11602	. . 3
5	2, 3, 4	mp2an 672	. 2
6		pnfge 11368	. . . 4
7	6	adantr 465	. . 3
8	7	pm4.71i 632	. 2
9	1, 5, 8	3bitr4i 277	1

Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  0cc0 9513  cpnf 9646  cxr 9648  cle 9650  cicc 11561

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  11660  ge0xaddcl  11663  ge0xmulcl  11664  xrge0subm  18459  psmetxrge0  20817  isxmet2d  20830  prdsdsf  20870  prdsxmetlem  20871  comet  21016  stdbdxmet  21018  xrge0gsumle  21338  xrge0tsms  21339  metdsf  21352  metds0  21354  metdstri  21355  metdsre  21357  metdseq0  21358  metdscnlem  21359  metnrmlem1a  21362  metnrmlem1  21363  xrhmeo  21446  lebnumlem1  21461  xrge0f  22138  itg2const2  22148  itg2uba  22150  itg2mono  22160  itg2gt0  22167  itg2cnlem2  22169  itg2cn  22170  iblss  22211  itgle  22216  itgeqa  22220  ibladdlem  22226  iblabs  22235  iblabsr  22236  iblmulc2  22237  itgsplit  22242  bddmulibl  22245  xrge0infss  27580  xrge00  27674  xrge0tsmsd  27775  esummono  28066  gsumesum  28067  esumsn  28072  esumpmono  28085  hashf2  28090  measge0  28178  measle0  28179  measssd  28186  measunl  28187  sibfinima  28281  prob01  28352  dstrvprob  28410  itg2addnclem  30066  ibladdnclem  30071  iblabsnc  30079  iblmulc2nc  30080  bddiblnc  30085  ftc1anclem4  30093  ftc1anclem5  30094  ftc1anclem6  30095  ftc1anclem7  30096  ftc1anclem8  30097  ftc1anc  30098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-icc 11565