MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elz2 Unicode version

Theorem elz2 10906
Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elz2
Distinct variable group:   , ,N

Proof of Theorem elz2
StepHypRef Expression
1 elznn0 10904 . 2
2 nn0p1nn 10860 . . . . . 6
32adantl 466 . . . . 5
4 1nn 10572 . . . . . 6
54a1i 11 . . . . 5
6 recn 9603 . . . . . . . 8
76adantr 465 . . . . . . 7
8 ax-1cn 9571 . . . . . . 7
9 pncan 9849 . . . . . . 7
107, 8, 9sylancl 662 . . . . . 6
1110eqcomd 2465 . . . . 5
12 rspceov 6336 . . . . 5
133, 5, 11, 12syl3anc 1228 . . . 4
144a1i 11 . . . . 5
156adantr 465 . . . . . . 7
16 negsub 9890 . . . . . . 7
178, 15, 16sylancr 663 . . . . . 6
18 simpr 461 . . . . . . 7
19 nnnn0addcl 10851 . . . . . . 7
204, 18, 19sylancr 663 . . . . . 6
2117, 20eqeltrrd 2546 . . . . 5
22 nncan 9871 . . . . . . 7
238, 15, 22sylancr 663 . . . . . 6
2423eqcomd 2465 . . . . 5
25 rspceov 6336 . . . . 5
2614, 21, 24, 25syl3anc 1228 . . . 4
2713, 26jaodan 785 . . 3
28 nnre 10568 . . . . . . 7
29 nnre 10568 . . . . . . 7
30 resubcl 9906 . . . . . . 7
3128, 29, 30syl2an 477 . . . . . 6
32 letric 9706 . . . . . . . 8
3329, 28, 32syl2anr 478 . . . . . . 7
34 nnnn0 10827 . . . . . . . . 9
35 nnnn0 10827 . . . . . . . . 9
36 nn0sub 10871 . . . . . . . . 9
3734, 35, 36syl2anr 478 . . . . . . . 8
38 nn0sub 10871 . . . . . . . . . 10
3935, 34, 38syl2an 477 . . . . . . . . 9
40 nncn 10569 . . . . . . . . . . 11
41 nncn 10569 . . . . . . . . . . 11
42 negsubdi2 9901 . . . . . . . . . . 11
4340, 41, 42syl2an 477 . . . . . . . . . 10
4443eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
4539, 44bitr4d 256 . . . . . . . 8
4637, 45orbi12d 709 . . . . . . 7
4733, 46mpbid 210 . . . . . 6
4831, 47jca 532 . . . . 5
49 eleq1 2529 . . . . . 6
50 eleq1 2529 . . . . . . 7
51 negeq 9835 . . . . . . . 8
5251eleq1d 2526 . . . . . . 7
5350, 52orbi12d 709 . . . . . 6
5449, 53anbi12d 710 . . . . 5
5548, 54syl5ibrcom 222 . . . 4
5655rexlimivv 2954 . . 3
5727, 56impbii 188 . 2
581, 57bitri 249 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  1c1 9514   caddc 9516   cle 9650   cmin 9828  -ucneg 9829   cn 10561   cn0 10820   cz 10889
This theorem is referenced by:  dfz2  10907  zaddcl  10929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890
  Copyright terms: Public domain W3C validator