MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elznn0 Unicode version

Theorem elznn0 10904
Description: Integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elznn0

Proof of Theorem elznn0
StepHypRef Expression
1 elz 10891 . 2
2 elnn0 10822 . . . . . 6
32a1i 11 . . . . 5
4 elnn0 10822 . . . . . 6
5 recn 9603 . . . . . . . . 9
6 0cn 9609 . . . . . . . . 9
7 negcon1 9894 . . . . . . . . 9
85, 6, 7sylancl 662 . . . . . . . 8
9 neg0 9888 . . . . . . . . . 10
109eqeq1i 2464 . . . . . . . . 9
11 eqcom 2466 . . . . . . . . 9
1210, 11bitri 249 . . . . . . . 8
138, 12syl6bb 261 . . . . . . 7
1413orbi2d 701 . . . . . 6
154, 14syl5bb 257 . . . . 5
163, 15orbi12d 709 . . . 4
17 3orass 976 . . . . 5
18 orcom 387 . . . . 5
19 orordir 531 . . . . 5
2017, 18, 193bitrri 272 . . . 4
2116, 20syl6rbb 262 . . 3
2221pm5.32i 637 . 2
231, 22bitri 249 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  -ucneg 9829   cn 10561   cn0 10820   cz 10889
This theorem is referenced by:  elz2  10906  zmulcl  10937  expnegz  12200  expaddzlem  12209  odd2np1  14046  mulgz  16163  mulgdirlem  16166  mulgdir  16167  mulgass  16172  mulgdi  16835  cxpmul2z  23072  gxneg  25268  gxadd  25277  gxmul  25280  rexzrexnn0  30737  pell1234qrdich  30797  pell14qrexpcl  30803  pell14qrdich  30805  rmxnn  30889  jm2.19lem4  30934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-neg 9831  df-n0 10821  df-z 10890
  Copyright terms: Public domain W3C validator