MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en0 Unicode version

Theorem en0 7598
Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
en0

Proof of Theorem en0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7545 . . 3
2 f1ocnv 5833 . . . . 5
3 f1o00 5853 . . . . . 6
43simprbi 464 . . . . 5
52, 4syl 16 . . . 4
65exlimiv 1722 . . 3
71, 6sylbi 195 . 2
8 0ex 4582 . . . 4
98enref 7568 . . 3
10 breq1 4455 . . 3
119, 10mpbiri 233 . 2
127, 11impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  =wceq 1395  E.wex 1612   c0 3784   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  -1-1-onto->wf1o 5592   cen 7533
This theorem is referenced by:  snfi  7616  dom0  7665  0sdomg  7666  nneneq  7720  snnen2o  7726  enp1i  7775  findcard  7779  findcard2  7780  fiint  7817  cantnff  8114  cantnf0  8115  cantnfp1lem2  8119  cantnflem1  8129  cantnf  8133  cantnfp1lem2OLD  8145  cantnflem1OLD  8152  cantnfOLD  8155  cnfcom2lem  8166  cnfcom2lemOLD  8174  cardnueq0  8366  infmap2  8619  fin23lem26  8726  cardeq0  8948  hasheq0  12433  mreexexd  15045  pmtrfmvdn0  16487  pmtrsn  16544  rp-isfinite6  37744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-en 7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator