MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1 Unicode version

Theorem en1 7602
Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by NM, 25-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
en1
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem en1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df1o2 7161 . . . . 5
21breq2i 4460 . . . 4
3 bren 7545 . . . 4
42, 3bitri 249 . . 3
5 f1ocnv 5833 . . . . 5
6 f1ofo 5828 . . . . . . 7
7 forn 5803 . . . . . . 7
86, 7syl 16 . . . . . 6
9 f1of 5821 . . . . . . . . 9
10 0ex 4582 . . . . . . . . . . 11
1110fsn2 6071 . . . . . . . . . 10
1211simprbi 464 . . . . . . . . 9
139, 12syl 16 . . . . . . . 8
1413rneqd 5235 . . . . . . 7
1510rnsnop 5494 . . . . . . 7
1614, 15syl6eq 2514 . . . . . 6
178, 16eqtr3d 2500 . . . . 5
18 fvex 5881 . . . . . 6
19 sneq 4039 . . . . . . 7
2019eqeq2d 2471 . . . . . 6
2118, 20spcev 3201 . . . . 5
225, 17, 213syl 20 . . . 4
2322exlimiv 1722 . . 3
244, 23sylbi 195 . 2
25 vex 3112 . . . . 5
2625ensn1 7599 . . . 4
27 breq1 4455 . . . 4
2826, 27mpbiri 233 . . 3
2928exlimiv 1722 . 2
3024, 29impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  rancrn 5005  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   c1o 7142   cen 7533
This theorem is referenced by:  en1b  7603  reuen1  7604  en2  7776  card1  8370  pm54.43  8402  hash1snb  12479  ufildom1  20427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-1o 7149  df-en 7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator