Theorem en1b 7603

Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en1b

Proof of Theorem en1b

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en1 7602	. . 3
2		id 22	. . . . 5
3		unieq 4257	. . . . . . 7
4		vex 3112	. . . . . . . 8
5	4	unisn 4264	. . . . . . 7
6	3, 5	syl6eq 2514	. . . . . 6
7	6	sneqd 4041	. . . . 5
8	2, 7	eqtr4d 2501	. . . 4
9	8	exlimiv 1722	. . 3
10	1, 9	sylbi 195	. 2
11		id 22	. . 3
12		snex 4693	. . . . . 6
13	11, 12	syl6eqel 2553	. . . . 5
14		uniexg 6597	. . . . 5
15	13, 14	syl 16	. . . 4
16		ensn1g 7600	. . . 4
17	15, 16	syl 16	. . 3
18	11, 17	eqbrtrd 4472	. 2
19	10, 18	impbii 188	1

Syntax hints:  <->wb 184  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  cvv 3109  {csn 4029  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  c1o 7142  cen 7533

This theorem is referenced by:  en1uniel  7607  sylow2alem2  16638  sylow2a  16639  frgpcyg  18612  ptcmplem3  20554  cnextfvval  20565  cnextcn  20567  minveclem4a  21845  isppw  23388  xrge0tsmsbi  27776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-1o 7149  df-en 7537