Theorem en2other2 8408

Description: Taking the other element twice in a pair gets back to the original element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2other2

Proof of Theorem en2other2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2eleq 8407	. . . . . . 7
2		prcom 4108	. . . . . . 7
3	1, 2	syl6eq 2514	. . . . . 6
4	3	difeq1d 3620	. . . . 5
5		difprsnss 4165	. . . . 5
6	4, 5	syl6eqss 3553	. . . 4
7		simpl 457	. . . . . 6
8		1onn 7307	. . . . . . . . . 10
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9
10		simpr 461	. . . . . . . . . 10
11		df-2o 7150	. . . . . . . . . 10
12	10, 11	syl6breq 4491	. . . . . . . . 9
13		dif1en 7773	. . . . . . . . 9
14	9, 12, 7, 13	syl3anc 1228	. . . . . . . 8
15		en1uniel 7607	. . . . . . . 8
16		eldifsni 4156	. . . . . . . 8
17	14, 15, 16	3syl 20	. . . . . . 7
18	17	necomd 2728	. . . . . 6
19		eldifsn 4155	. . . . . 6
20	7, 18, 19	sylanbrc 664	. . . . 5
21	20	snssd 4175	. . . 4
22	6, 21	eqssd 3520	. . 3
23	22	unieqd 4259	. 2
24		unisng 4265	. . 3
25	24	adantr 465	. 2
26	23, 25	eqtrd 2498	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  \cdif 3472  {csn 4029  {cpr 4031  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  succsuc 4885  com 6700  c1o 7142  c2o 7143  cen 7533

This theorem is referenced by:  pmtrfinv  16486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540