Theorem ener 7582

Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ener

Proof of Theorem ener

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 7541	. . . 4
2	1	a1i 11	. . 3
3		bren 7545	. . . . 5
4		f1ocnv 5833	. . . . . . 7
5		vex 3112	. . . . . . . 8
6		vex 3112	. . . . . . . 8
7		f1oen2g 7552	. . . . . . . 8
8	5, 6, 7	mp3an12 1314	. . . . . . 7
9	4, 8	syl 16	. . . . . 6
10	9	exlimiv 1722	. . . . 5
11	3, 10	sylbi 195	. . . 4
12	11	adantl 466	. . 3
13		bren 7545	. . . . 5
14		bren 7545	. . . . 5
15		eeanv 1988	. . . . . 6
16		f1oco 5843	. . . . . . . . 9
17	16	ancoms 453	. . . . . . . 8
18		vex 3112	. . . . . . . . 9
19		f1oen2g 7552	. . . . . . . . 9
20	6, 18, 19	mp3an12 1314	. . . . . . . 8
21	17, 20	syl 16	. . . . . . 7
22	21	exlimivv 1723	. . . . . 6
23	15, 22	sylbir 213	. . . . 5
24	13, 14, 23	syl2anb 479	. . . 4
25	24	adantl 466	. . 3
26	6	enref 7568	. . . . 5
27	6, 26	2th 239	. . . 4
28	27	a1i 11	. . 3
29	2, 12, 25, 28	iserd 7356	. 2
30	29	trud 1404	1

Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  wtru 1396  E.wex 1612  e.wcel 1818  cvv 3109   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  o.ccom 5008  Relwrel 5009  -1-1-onto->wf1o 5592  Erwer 7327  cen 7533

This theorem is referenced by:  ensymb  7583  entr  7587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-er 7330  df-en 7537