MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ener Unicode version

Theorem ener 7582
Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ener

Proof of Theorem ener
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 7541 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 bren 7545 . . . . 5
4 f1ocnv 5833 . . . . . . 7
5 vex 3112 . . . . . . . 8
6 vex 3112 . . . . . . . 8
7 f1oen2g 7552 . . . . . . . 8
85, 6, 7mp3an12 1314 . . . . . . 7
94, 8syl 16 . . . . . 6
109exlimiv 1722 . . . . 5
113, 10sylbi 195 . . . 4
1211adantl 466 . . 3
13 bren 7545 . . . . 5
14 bren 7545 . . . . 5
15 eeanv 1988 . . . . . 6
16 f1oco 5843 . . . . . . . . 9
1716ancoms 453 . . . . . . . 8
18 vex 3112 . . . . . . . . 9
19 f1oen2g 7552 . . . . . . . . 9
206, 18, 19mp3an12 1314 . . . . . . . 8
2117, 20syl 16 . . . . . . 7
2221exlimivv 1723 . . . . . 6
2315, 22sylbir 213 . . . . 5
2413, 14, 23syl2anb 479 . . . 4
2524adantl 466 . . 3
266enref 7568 . . . . 5
276, 262th 239 . . . 4
2827a1i 11 . . 3
292, 12, 25, 28iserd 7356 . 2
3029trud 1404 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369   wtru 1396  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  o.ccom 5008  Relwrel 5009  -1-1-onto->wf1o 5592  Erwer 7327   cen 7533
This theorem is referenced by:  ensymb  7583  entr  7587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-er 7330  df-en 7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator