MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enfin1ai Unicode version

Theorem enfin1ai 8785
Description: Ia-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfin1ai

Proof of Theorem enfin1ai
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 7584 . . 3
2 bren 7545 . . 3
31, 2sylib 196 . 2
4 elpwi 4021 . . . . . . 7
5 simplr 755 . . . . . . . . 9
6 imassrn 5353 . . . . . . . . . 10
7 f1of 5821 . . . . . . . . . . . 12
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
9 frn 5742 . . . . . . . . . . 11
108, 9syl 16 . . . . . . . . . 10
116, 10syl5ss 3514 . . . . . . . . 9
12 fin1ai 8694 . . . . . . . . 9
135, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . . 8
14 f1of1 5820 . . . . . . . . . . . 12
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
16 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
17 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11
19 f1imaeng 7595 . . . . . . . . . . 11
2015, 16, 18, 19syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
21 enfi 7756 . . . . . . . . . 10
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9
23 df-f1 5598 . . . . . . . . . . . . . 14
2423simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13
25 imadif 5668 . . . . . . . . . . . . 13
2615, 24, 253syl 20 . . . . . . . . . . . 12
27 f1ofo 5828 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 foima 5805 . . . . . . . . . . . . . . 15
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
3130difeq1d 3620 . . . . . . . . . . . 12
3226, 31eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
33 difssd 3631 . . . . . . . . . . . 12
34 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
357adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
36 dmfex 6758 . . . . . . . . . . . . . . 15
3734, 35, 36sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
39 difexg 4600 . . . . . . . . . . . . 13
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12
41 f1imaeng 7595 . . . . . . . . . . . 12
4215, 33, 40, 41syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
4332, 42eqbrtrrd 4474 . . . . . . . . . 10
44 enfi 7756 . . . . . . . . . 10
4543, 44syl 16 . . . . . . . . 9
4622, 45orbi12d 709 . . . . . . . 8
4713, 46mpbid 210 . . . . . . 7
484, 47sylan2 474 . . . . . 6
4948ralrimiva 2871 . . . . 5
50 isfin1a 8693 . . . . . 6
5137, 50syl 16 . . . . 5
5249, 51mpbird 232 . . . 4
5352ex 434 . . 3
5453exlimiv 1722 . 2
553, 54syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  rancrn 5005  "cima 5007  Funwfun 5587  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592   cen 7533   cfn 7536   cfin1a 8679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540  df-fin1a 8686
  Copyright terms: Public domain W3C validator