Theorem enfin2i 8722

Description: II-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfin2i

Proof of Theorem enfin2i

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 7545	. . 3
2		elpwi 4021	. . . . . . 7
3		imauni 6158	. . . . . . . . . . 11
4		vex 3112	. . . . . . . . . . . . 13
5		imaexg 6737	. . . . . . . . . . . . 13
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
7	6	dfiun2 4364	. . . . . . . . . . 11
8	3, 7	eqtri 2486	. . . . . . . . . 10
9		imaeq2 5338	. . . . . . . . . . . . . . 15
10	9	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . 14
11	10	rexrab 3263	. . . . . . . . . . . . 13
12		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . 16
13	12	biimparc 487	. . . . . . . . . . . . . . 15
14	13	rexlimivw 2946	. . . . . . . . . . . . . 14
15		cnvimass 5362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16		f1odm 5825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17	16	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18	15, 17	syl5sseq 3551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
19	4	cnvex 6747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20		imaexg 6737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22	21	elpw 4018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
23	18, 22	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24		f1ofo 5828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
25	24	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
26		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
27	26	sselda 3503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
28	27	elpwid 4022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
29		foimacnv 5838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
30	25, 28, 29	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31	30	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
32		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
33	31, 32	eqeltrrd 2546	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34		imaeq2 5338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35	34	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36	34	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
37	35, 36	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
38	37	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . . . . . 16
39	23, 33, 31, 38	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15
40	39	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14
41	14, 40	impbid2 204	. . . . . . . . . . . . 13
42	11, 41	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . 12
43	42	abbi1dv 2595	. . . . . . . . . . 11
44	43	unieqd 4259	. . . . . . . . . 10
45	8, 44	syl5eq 2510	. . . . . . . . 9
46		simplr 755	. . . . . . . . . . 11
47		ssrab2 3584	. . . . . . . . . . . 12
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
49		simprrl 765	. . . . . . . . . . . . . 14
50		n0 3794	. . . . . . . . . . . . . 14
51	49, 50	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13
52		imaeq2 5338	. . . . . . . . . . . . . . . 16
53	52	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . 15
54	53	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . . . 14
55	23, 33, 54	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13
56	51, 55	exlimddv 1726	. . . . . . . . . . . 12
57		rabn0 3805	. . . . . . . . . . . 12
58	56, 57	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11
59	10	elrab 3257	. . . . . . . . . . . . . . 15
60		imaeq2 5338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
61	60	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . 16
62	61	elrab 3257	. . . . . . . . . . . . . . 15
63	59, 62	anbi12i 697	. . . . . . . . . . . . . 14
64		simprrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	64	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66		simprlr 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67		simprrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16
68		sorpssi 6586	. . . . . . . . . . . . . . . 16
69	65, 66, 67, 68	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15
70		f1of1 5820	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
71	70	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
72		simprll 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
73	72	elpwid 4022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
74		simprrl 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
75	74	elpwid 4022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
76		f1imass 6172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
77	71, 73, 75, 76	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		f1imass 6172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
79	71, 75, 73, 78	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . 16
80	77, 79	orbi12d 709	. . . . . . . . . . . . . . 15
81	69, 80	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14
82	63, 81	sylan2b 475	. . . . . . . . . . . . 13
83	82	ralrimivva 2878	. . . . . . . . . . . 12
84		sorpss 6585	. . . . . . . . . . . 12
85	83, 84	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11
86		fin2i 8696	. . . . . . . . . . 11
87	46, 48, 58, 85, 86	syl22anc 1229	. . . . . . . . . 10
88		imaeq2 5338	. . . . . . . . . . . . 13
89	88	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . 12
90	10	cbvrabv 3108	. . . . . . . . . . . 12
91	89, 90	elrab2 3259	. . . . . . . . . . 11
92	91	simprbi 464	. . . . . . . . . 10
93	87, 92	syl 16	. . . . . . . . 9
94	45, 93	eqeltrrd 2546	. . . . . . . 8
95	94	expr 615	. . . . . . 7
96	2, 95	sylan2 474	. . . . . 6
97	96	ralrimiva 2871	. . . . 5
98	97	ex 434	. . . 4
99	98	exlimiv 1722	. . 3
100	1, 99	sylbi 195	. 2
101		relen 7541	. . . 4
102	101	brrelex2i 5046	. . 3
103		isfin2 8695	. . 3
104	102, 103	syl 16	. 2
105	100, 104	sylibrd 234	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  Orwor 4804  `'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  crpss 6579  cen 7533  cfin2 8680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-rpss 6580  df-en 7537  df-fin2 8687