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Theorem enfin2i 8722
Description: II-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfin2i

Proof of Theorem enfin2i
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7545 . . 3
2 elpwi 4021 . . . . . . 7
3 imauni 6158 . . . . . . . . . . 11
4 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
5 imaexg 6737 . . . . . . . . . . . . 13
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
76dfiun2 4364 . . . . . . . . . . 11
83, 7eqtri 2486 . . . . . . . . . 10
9 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . . . 15
109eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . 14
1110rexrab 3263 . . . . . . . . . . . . 13
12 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1312biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413rexlimivw 2946 . . . . . . . . . . . . . 14
15 cnvimass 5362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16 f1odm 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1716ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1815, 17syl5sseq 3551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
194cnvex 6747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20 imaexg 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2221elpw 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2318, 22sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24 f1ofo 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2524ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
26 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2726sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2827elpwid 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
29 foimacnv 5838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3025, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3130eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3331, 32eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . . 16
34 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3534eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3634eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3735, 36anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3837rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3923, 33, 31, 38syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
4114, 40impbid2 204 . . . . . . . . . . . . 13
4211, 41syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12
4342abbi1dv 2595 . . . . . . . . . . 11
4443unieqd 4259 . . . . . . . . . 10
458, 44syl5eq 2510 . . . . . . . . 9
46 simplr 755 . . . . . . . . . . 11
47 ssrab2 3584 . . . . . . . . . . . 12
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11
49 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . 14
50 n0 3794 . . . . . . . . . . . . . 14
5149, 50sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
52 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . 14
5523, 33, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
5651, 55exlimddv 1726 . . . . . . . . . . . 12
57 rabn0 3805 . . . . . . . . . . . 12
5856, 57sylibr 212 . . . . . . . . . . 11
5910elrab 3257 . . . . . . . . . . . . . . 15
60 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6160eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261elrab 3257 . . . . . . . . . . . . . . 15
6359, 62anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . 14
64 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16
67 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16
68 sorpssi 6586 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6965, 66, 67, 68syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 f1of1 5820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7170ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
72 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7372elpwid 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
74 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7574elpwid 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
76 f1imass 6172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7771, 73, 75, 76syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16
78 f1imass 6172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7971, 75, 73, 78syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8077, 79orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . 15
8169, 80mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14
8263, 81sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . 13
8382ralrimivva 2878 . . . . . . . . . . . 12
84 sorpss 6585 . . . . . . . . . . . 12
8583, 84sylibr 212 . . . . . . . . . . 11
86 fin2i 8696 . . . . . . . . . . 11
8746, 48, 58, 85, 86syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10
88 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . 13
8988eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12
9010cbvrabv 3108 . . . . . . . . . . . 12
9189, 90elrab2 3259 . . . . . . . . . . 11
9291simprbi 464 . . . . . . . . . 10
9387, 92syl 16 . . . . . . . . 9
9445, 93eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8
9594expr 615 . . . . . . 7
962, 95sylan2 474 . . . . . 6
9796ralrimiva 2871 . . . . 5
9897ex 434 . . . 4
9998exlimiv 1722 . . 3
1001, 99sylbi 195 . 2
101 relen 7541 . . . 4
102101brrelex2i 5046 . . 3
103 isfin2 8695 . . 3
104102, 103syl 16 . 2
105100, 104sylibrd 234 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  Orwor 4804  `'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592   crpss 6579   cen 7533   cfin2 8680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-rpss 6580  df-en 7537  df-fin2 8687
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