Theorem enfixsn 7646

Description: Given two equipollent sets, a bijection can always be chosen which fixes a single point. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfixsn

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem enfixsn

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 998	. . 3
2		bren 7545	. . 3
3	1, 2	sylib 196	. 2
4		relen 7541	. . . . . . . 8
5	4	brrelex2i 5046	. . . . . . 7
6	5	3ad2ant3 1019	. . . . . 6
7	6	adantr 465	. . . . 5
8		f1of 5821	. . . . . . 7
9	8	adantl 466	. . . . . 6
10		simpl1 999	. . . . . 6
11	9, 10	ffvelrnd 6032	. . . . 5
12		simpl2 1000	. . . . 5
13		difsnen 7619	. . . . 5
14	7, 11, 12, 13	syl3anc 1228	. . . 4
15		bren 7545	. . . 4
16	14, 15	sylib 196	. . 3
17		fvex 5881	. . . . . . . . . . 11
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10
19		simpl2 1000	. . . . . . . . . 10
20		f1osng 5859	. . . . . . . . . 10
21	18, 19, 20	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
22		simprr 757	. . . . . . . . 9
23		disjdif 3900	. . . . . . . . . 10
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9
25		disjdif 3900	. . . . . . . . . 10
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9
27		f1oun 5840	. . . . . . . . 9
28	21, 22, 24, 26, 27	syl22anc 1229	. . . . . . . 8
29	8	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11
30		simpl1 999	. . . . . . . . . . 11
31	29, 30	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . 10
32		uncom 3647	. . . . . . . . . . 11
33		difsnid 4176	. . . . . . . . . . 11
34	32, 33	syl5eq 2510	. . . . . . . . . 10
35	31, 34	syl 16	. . . . . . . . 9
36		uncom 3647	. . . . . . . . . . 11
37		difsnid 4176	. . . . . . . . . . 11
38	36, 37	syl5eq 2510	. . . . . . . . . 10
39	19, 38	syl 16	. . . . . . . . 9
40		f1oeq23 5815	. . . . . . . . 9
41	35, 39, 40	syl2anc 661	. . . . . . . 8
42	28, 41	mpbid 210	. . . . . . 7
43		simprl 756	. . . . . . 7
44		f1oco 5843	. . . . . . 7
45	42, 43, 44	syl2anc 661	. . . . . 6
46		f1ofn 5822	. . . . . . . . 9
47	46	ad2antrl 727	. . . . . . . 8
48		fvco2 5948	. . . . . . . 8
49	47, 30, 48	syl2anc 661	. . . . . . 7
50		f1ofn 5822	. . . . . . . . 9
51	21, 50	syl 16	. . . . . . . 8
52		f1ofn 5822	. . . . . . . . 9
53	52	ad2antll 728	. . . . . . . 8
54	17	snid 4057	. . . . . . . . 9
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8
56		fvun1 5944	. . . . . . . 8
57	51, 53, 24, 55, 56	syl112anc 1232	. . . . . . 7
58		fvsng 6105	. . . . . . . 8
59	18, 19, 58	syl2anc 661	. . . . . . 7
60	49, 57, 59	3eqtrd 2502	. . . . . 6
61		snex 4693	. . . . . . . . 9
62		vex 3112	. . . . . . . . 9
63	61, 62	unex 6598	. . . . . . . 8
64		vex 3112	. . . . . . . 8
65	63, 64	coex 6752	. . . . . . 7
66		f1oeq1 5812	. . . . . . . 8
67		fveq1 5870	. . . . . . . . 9
68	67	eqeq1d 2459	. . . . . . . 8
69	66, 68	anbi12d 710	. . . . . . 7
70	65, 69	spcev 3201	. . . . . 6
71	45, 60, 70	syl2anc 661	. . . . 5
72	71	expr 615	. . . 4
73	72	exlimdv 1724	. . 3
74	16, 73	mpd 15	. 2
75	3, 74	exlimddv 1726	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  cen 7533

This theorem is referenced by:  mapfien2  7888  mapfien2OLD  31042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537