Theorem ensn1 7599

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1

Assertion

Ref	Expression
ensn1

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1.1	. . . . 5
2		0ex 4582	. . . . 5
3	1, 2	f1osn 5858	. . . 4
4		snex 4693	. . . . 5
5		f1oeq1 5812	. . . . 5
6	4, 5	spcev 3201	. . . 4
7	3, 6	ax-mp 5	. . 3
8		bren 7545	. . 3
9	7, 8	mpbir 209	. 2
10		df1o2 7161	. 2
11	9, 10	breqtrri 4477	1

Syntax hints:  E.wex 1612  e.wcel 1818  cvv 3109  c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  -1-1-onto->wf1o 5592  c1o 7142  cen 7533

This theorem is referenced by:  ensn1g  7600  en1  7602  fodomfi  7819  pm54.43  8402  1nprm  14222  isprm2lem  14224  gex1  16611  sylow2a  16639  0frgp  16797  en1top  19486  en2top  19487  t1conperf  19937  ptcmplem2  20553  xrge0tsms2  21340  sconpi1  28684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-1o 7149  df-en 7537