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Theorem epfrs 8183
Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on ), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 8184. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
epfrs
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem epfrs
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3794 . . 3
2 snex 4693 . . . . . 6
32tz9.1 8181 . . . . 5
4 snssi 4174 . . . . . . . . . . . . 13
54anim2i 569 . . . . . . . . . . . 12
6 ssin 3719 . . . . . . . . . . . . 13
7 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
87snss 4154 . . . . . . . . . . . . 13
96, 8bitr4i 252 . . . . . . . . . . . 12
105, 9sylib 196 . . . . . . . . . . 11
11 ne0i 3790 . . . . . . . . . . 11
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . 10
13 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . 13
14 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514inex1 4593 . . . . . . . . . . . . . 14
1615epfrc 4870 . . . . . . . . . . . . 13
1713, 16mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . 12
18 elin 3686 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1918anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 anass 649 . . . . . . . . . . . . . . 15
2119, 20bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14
22 n0 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
23 inss1 3717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2423sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2524ancri 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
26 trel 4552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
27 inass 3707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
28 incom 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2928ineq2i 3696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3027, 29eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3130eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
32 elin 3686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3331, 32bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
34 ne0i 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3533, 34sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3635ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3726, 36syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3837expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3938com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4039impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4125, 40syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4241exlimdv 1724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4322, 42syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4443com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4544imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645necon4d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . 14
4921, 48syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13
5049reximdv2 2928 . . . . . . . . . . . 12
5117, 50syl5 32 . . . . . . . . . . 11
5251expcomd 438 . . . . . . . . . 10
5312, 52syl5 32 . . . . . . . . 9
5453expd 436 . . . . . . . 8
5554impcom 430 . . . . . . 7
56553adant3 1016 . . . . . 6
5756exlimiv 1722 . . . . 5
583, 57ax-mp 5 . . . 4
5958exlimiv 1722 . . 3
601, 59sylbi 195 . 2
6160impcom 430 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  Trwtr 4545   cep 4794  Frwfr 4840
This theorem is referenced by:  zfregs  8184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095
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