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Theorem epfrs 7898
Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on ), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 7899. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
epfrs
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem epfrs
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3623 . . 3
2 snex 4505 . . . . . 6
32tz9.1 7896 . . . . 5
4 snssi 3992 . . . . . . . . . . . . 13
54anim2i 556 . . . . . . . . . . . 12
6 ssin 3549 . . . . . . . . . . . . 13
7 vex 2954 . . . . . . . . . . . . . 14
87snss 3974 . . . . . . . . . . . . 13
96, 8bitr4i 246 . . . . . . . . . . . 12
105, 9sylib 190 . . . . . . . . . . 11
11 ne0i 3620 . . . . . . . . . . 11
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . 10
13 inss2 3548 . . . . . . . . . . . . 13
14 vex 2954 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514inex1 4408 . . . . . . . . . . . . . 14
1615epfrc 4677 . . . . . . . . . . . . 13
1713, 16mp3an2 1287 . . . . . . . . . . . 12
18 elin 3516 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1918anbi1i 680 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 anass 634 . . . . . . . . . . . . . . 15
2119, 20bitri 243 . . . . . . . . . . . . . 14
22 n0 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
23 inss1 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2423sseli 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2524ancri 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
26 trel 4367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
27 inass 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
28 incom 3520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2928ineq2i 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3027, 29eqtri 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3130eleq2i 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
32 elin 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3331, 32bitr2i 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
34 ne0i 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3533, 34sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3635ex 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3726, 36syl6 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3837exp3a 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3938com34 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4039imp3a 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4125, 40syl5 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4241exlimdv 1681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4322, 42syl5bi 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4443com23 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4544imp 422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645necon4d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746anim2d 552 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847expimpd 590 . . . . . . . . . . . . . 14
4921, 48syl5bi 211 . . . . . . . . . . . . 13
5049reximdv2 2804 . . . . . . . . . . . 12
5117, 50syl5 31 . . . . . . . . . . 11
5251exp3acom23 1407 . . . . . . . . . 10
5312, 52syl5 31 . . . . . . . . 9
5453exp3a 429 . . . . . . . 8
5554impcom 423 . . . . . . 7
56553adant3 993 . . . . . 6
5756exlimiv 1679 . . . . 5
583, 57ax-mp 5 . . . 4
5958exlimiv 1679 . . 3
601, 59sylbi 189 . 2
6160impcom 423 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  /\w3a 950  A.wal 1580  E.wex 1581  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585  E.wrex 2695  i^icin 3304  C_wss 3305   c0 3614  {csn 3853  Trwtr 4360   cep 4601  Frwfr 4647
This theorem is referenced by:  zfregs  7899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-om 6447  df-recs 6791  df-rdg 6825
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