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Theorem epfrs 8088
Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on ), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 8089. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
epfrs
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem epfrs
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3760 . . 3
2 snex 4650 . . . . . 6
32tz9.1 8086 . . . . 5
4 snssi 4134 . . . . . . . . . . . . 13
54anim2i 569 . . . . . . . . . . . 12
6 ssin 3686 . . . . . . . . . . . . 13
7 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . 14
87snss 4116 . . . . . . . . . . . . 13
96, 8bitr4i 252 . . . . . . . . . . . 12
105, 9sylib 196 . . . . . . . . . . 11
11 ne0i 3757 . . . . . . . . . . 11
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . 10
13 inss2 3685 . . . . . . . . . . . . 13
14 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514inex1 4550 . . . . . . . . . . . . . 14
1615epfrc 4823 . . . . . . . . . . . . 13
1713, 16mp3an2 1303 . . . . . . . . . . . 12
18 elin 3653 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1918anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 anass 649 . . . . . . . . . . . . . . 15
2119, 20bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14
22 n0 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
23 inss1 3684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2423sseli 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2524ancri 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
26 trel 4509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
27 inass 3674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
28 incom 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2928ineq2i 3663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3027, 29eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3130eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
32 elin 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3331, 32bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
34 ne0i 3757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3533, 34sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3635ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3726, 36syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3837expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3938com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4039impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4125, 40syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4241exlimdv 1691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4322, 42syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4443com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4544imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645necon4d 2680 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . 14
4921, 48syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13
5049reximdv2 2933 . . . . . . . . . . . 12
5117, 50syl5 32 . . . . . . . . . . 11
5251expcomd 438 . . . . . . . . . 10
5312, 52syl5 32 . . . . . . . . 9
5453expd 436 . . . . . . . 8
5554impcom 430 . . . . . . 7
56553adant3 1008 . . . . . 6
5756exlimiv 1689 . . . . 5
583, 57ax-mp 5 . . . 4
5958exlimiv 1689 . . 3
601, 59sylbi 195 . 2
6160impcom 430 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 965  A.wal 1368  =wceq 1370  E.wex 1587  e.wcel 1758  =/=wne 2648  E.wrex 2801  i^icin 3441  C_wss 3442   c0 3751  {csn 3993  Trwtr 4502   cep 4747  Frwfr 4793
This theorem is referenced by:  zfregs  8089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-om 6610  df-recs 6966  df-rdg 7000
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