Theorem eqsupd 7937

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmo.1
eqsupd.2
eqsupd.3
eqsupd.4

Assertion

Ref	Expression
eqsupd

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,

Proof of Theorem eqsupd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsupd.2	. 2
2		eqsupd.3	. . 3
3	2	ralrimiva 2871	. 2
4		eqsupd.4	. . . 4
5	4	expr 615	. . 3
6	5	ralrimiva 2871	. 2
7		supmo.1	. . 3
8	7	eqsup 7936	. 2
9	1, 3, 6, 8	mp3and 1327	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  Orwor 4804  supcsup 7920

This theorem is referenced by:  supmax  7944  supiso  7954  xrinfm0  11557  esumpcvgval  28084  mblfinlem3  30053  mblfinlem4  30054  ismblfin  30055  itg2addnclem  30066  radcnvrat  31195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-po 4805  df-so 4806  df-iota 5556  df-riota 6257  df-sup 7921