Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem3-rN Unicode version

Theorem erngdvlem3-rN 35493
Description: Lemma for erngrng 35487. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r
ernggrp.d-r
ernggrplem.b-r
ernggrplem.t-r
ernggrplem.e-r
ernggrplem.p-r
ernggrplem.o-r
ernggrplem.i-r
erngrnglem.m-r
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3-rN
Distinct variable groups:   ,   , ,   , , ,   ,   , , ,   , , ,

Proof of Theorem erngdvlem3-rN
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . 4
2 ernggrplem.t-r . . . 4
3 ernggrplem.e-r . . . 4
4 ernggrp.d-r . . . 4
5 eqid 2454 . . . 4
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 35304 . . 3
76eqcomd 2462 . 2
8 eqid 2454 . . . 4
91, 2, 3, 4, 8erngfplus-rN 35305 . . 3
10 ernggrplem.p-r . . 3
119, 10syl6reqr 2514 . 2
12 eqid 2454 . . . 4
131, 2, 3, 4, 12erngfmul-rN 35308 . . 3
14 erngrnglem.m-r . . 3
1513, 14syl6reqr 2514 . 2
16 ernggrplem.b-r . . 3
17 ernggrplem.o-r . . 3
18 ernggrplem.i-r . . 3
191, 4, 16, 2, 3, 10, 17, 18erngdvlem1-rN 35491 . 2
2015oveqd 6239 . . . . 5
21203ad2ant1 1009 . . . 4
221, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35309 . . . . 5
23223impb 1184 . . . 4
2421, 23eqtrd 2495 . . 3
251, 3tendococl 35267 . . . 4
26253com23 1194 . . 3
2724, 26eqeltrd 2542 . 2
2815proplem3 14788 . . . . 5
291, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35309 . . . . . 6
30293adantr1 1147 . . . . 5
3128, 30eqtrd 2495 . . . 4
3231coeq1d 5118 . . 3
3315oveqd 6239 . . . . 5
3433adantr 465 . . . 4
35 simpl 457 . . . . 5
36 simpr1 994 . . . . 5
37 simpr3 996 . . . . . . 7
38 simpr2 995 . . . . . . 7
391, 3tendococl 35267 . . . . . . 7
4035, 37, 38, 39syl3anc 1219 . . . . . 6
4131, 40eqeltrd 2542 . . . . 5
421, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35309 . . . . 5
4335, 36, 41, 42syl12anc 1217 . . . 4
4434, 43eqtrd 2495 . . 3
4515oveqd 6239 . . . . . 6
4645adantr 465 . . . . 5
47273adant3r3 1199 . . . . . 6
481, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35309 . . . . . 6
4935, 47, 37, 48syl12anc 1217 . . . . 5
5015proplem3 14788 . . . . . . 7
51223adantr3 1149 . . . . . . 7
5250, 51eqtrd 2495 . . . . . 6
5352coeq2d 5119 . . . . 5
5446, 49, 533eqtrd 2499 . . . 4
55 coass 5475 . . . 4
5654, 55syl6eqr 2513 . . 3
5732, 44, 563eqtr4rd 2506 . 2
581, 2, 3, 10tendodi2 35280 . . . 4
5935, 38, 37, 36, 58syl13anc 1221 . . 3
6015oveqd 6239 . . . . 5
6160adantr 465 . . . 4
621, 2, 3, 10tendoplcl 35276 . . . . . 6
6335, 38, 37, 62syl3anc 1219 . . . . 5
641, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35309 . . . . 5
6535, 36, 63, 64syl12anc 1217 . . . 4
6661, 65eqtrd 2495 . . 3
6715proplem3 14788 . . . . 5
681, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35309 . . . . . 6
69683adantr2 1148 . . . . 5
7067, 69eqtrd 2495 . . . 4
7152, 70oveq12d 6240 . . 3
7259, 66, 713eqtr4d 2505 . 2
731, 2, 3, 10tendodi1 35279 . . . 4
7435, 37, 36, 38, 73syl13anc 1221 . . 3
7515adantr 465 . . . . 5
7675oveqd 6239 . . . 4
771, 2, 3, 10tendoplcl 35276 . . . . . 6
78773adant3r3 1199 . . . . 5
791, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35309 . . . . 5
8035, 78, 37, 79syl12anc 1217 . . . 4
8176, 80eqtrd 2495 . . 3
8270, 31oveq12d 6240 . . 3
8374, 81, 823eqtr4d 2505 . 2
841, 2, 3tendoidcl 35264 . 2
8515oveqd 6239 . . . 4
8685adantr 465 . . 3
87 simpl 457 . . . 4
8884adantr 465 . . . 4
89 simpr 461 . . . 4
901, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35309 . . . 4
9187, 88, 89, 90syl12anc 1217 . . 3
921, 2, 3tendo1mulr 35266 . . 3
9386, 91, 923eqtrd 2499 . 2
9415oveqd 6239 . . . 4
9594adantr 465 . . 3
961, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35309 . . . 4
9787, 89, 88, 96syl12anc 1217 . . 3
981, 2, 3tendo1mul 35265 . . 3
9995, 97, 983eqtrd 2499 . 2
1007, 11, 15, 19, 27, 57, 72, 83, 84, 93, 99isrngd 16855 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  e.cmpt 4467   cid 4748  `'ccnv 4956  |`cres 4959  o.ccom 4961  `cfv 5537  (class class class)co 6222  e.cmpt2 6224   cbs 14332   cplusg 14397   cmulr 14398   crg 16821   chlt 33846   clh 34479   cltrn 34596   ctendo 35247   cedring-rN 35249
This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  35494  erngrng-rN  35495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-riotaBAD 33455
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-iin 4291  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-undef 6926  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-fz 11583  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-0g 14539  df-poset 15275  df-plt 15287  df-lub 15303  df-glb 15304  df-join 15305  df-meet 15306  df-p0 15368  df-p1 15369  df-lat 15375  df-clat 15437  df-mnd 15574  df-grp 15704  df-mgp 16767  df-rng 16823  df-oposet 33672  df-ol 33674  df-oml 33675  df-covers 33762  df-ats 33763  df-atl 33794  df-cvlat 33818  df-hlat 33847  df-llines 33993  df-lplanes 33994  df-lvols 33995  df-lines 33996  df-psubsp 33998  df-pmap 33999  df-padd 34291  df-lhyp 34483  df-laut 34484  df-ldil 34599  df-ltrn 34600  df-trl 34654  df-tendo 35250  df-edring-rN 35251
  Copyright terms: Public domain W3C validator