Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem3-rN Unicode version

Theorem erngdvlem3-rN 34079
 Description: Lemma for erngrng 34073. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r
ernggrp.d-r
ernggrplem.b-r
ernggrplem.t-r
ernggrplem.e-r
ernggrplem.p-r
ernggrplem.o-r
ernggrplem.i-r
erngrnglem.m-r
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3-rN
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem erngdvlem3-rN
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . 4
2 ernggrplem.t-r . . . 4
3 ernggrplem.e-r . . . 4
4 ernggrp.d-r . . . 4
5 eqid 2422 . . . 4
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 33890 . . 3
76eqcomd 2427 . 2
8 eqid 2422 . . . 4
91, 2, 3, 4, 8erngfplus-rN 33891 . . 3
10 ernggrplem.p-r . . 3
119, 10syl6reqr 2473 . 2
12 eqid 2422 . . . 4
131, 2, 3, 4, 12erngfmul-rN 33894 . . 3
14 erngrnglem.m-r . . 3
1513, 14syl6reqr 2473 . 2
16 ernggrplem.b-r . . 3
17 ernggrplem.o-r . . 3
18 ernggrplem.i-r . . 3
191, 4, 16, 2, 3, 10, 17, 18erngdvlem1-rN 34077 . 2
2015oveqd 6078 . . . . 5
21203ad2ant1 994 . . . 4
221, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 33895 . . . . 5
23223impb 1168 . . . 4
2421, 23eqtrd 2454 . . 3
251, 3tendococl 33853 . . . 4
26253com23 1178 . . 3
2724, 26eqeltrd 2496 . 2
2815proplem3 14569 . . . . 5
291, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 33895 . . . . . 6
30293adantr1 1132 . . . . 5
3128, 30eqtrd 2454 . . . 4
3231coeq1d 4972 . . 3
3315oveqd 6078 . . . . 5
3433adantr 455 . . . 4
35 simpl 447 . . . . 5
36 simpr1 979 . . . . 5
37 simpr3 981 . . . . . . 7
38 simpr2 980 . . . . . . 7
391, 3tendococl 33853 . . . . . . 7
4035, 37, 38, 39syl3anc 1203 . . . . . 6
4131, 40eqeltrd 2496 . . . . 5
421, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 33895 . . . . 5
4335, 36, 41, 42syl12anc 1201 . . . 4
4434, 43eqtrd 2454 . . 3
4515oveqd 6078 . . . . . 6
4645adantr 455 . . . . 5
47273adant3r3 1183 . . . . . 6
481, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 33895 . . . . . 6
4935, 47, 37, 48syl12anc 1201 . . . . 5
5015proplem3 14569 . . . . . . 7
51223adantr3 1134 . . . . . . 7
5250, 51eqtrd 2454 . . . . . 6
5352coeq2d 4973 . . . . 5
5446, 49, 533eqtrd 2458 . . . 4
55 coass 5328 . . . 4
5654, 55syl6eqr 2472 . . 3
5732, 44, 563eqtr4rd 2465 . 2
581, 2, 3, 10tendodi2 33866 . . . 4
5935, 38, 37, 36, 58syl13anc 1205 . . 3
6015oveqd 6078 . . . . 5
6160adantr 455 . . . 4
621, 2, 3, 10tendoplcl 33862 . . . . . 6
6335, 38, 37, 62syl3anc 1203 . . . . 5
641, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 33895 . . . . 5
6535, 36, 63, 64syl12anc 1201 . . . 4
6661, 65eqtrd 2454 . . 3
6715proplem3 14569 . . . . 5
681, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 33895 . . . . . 6
69683adantr2 1133 . . . . 5
7067, 69eqtrd 2454 . . . 4
7152, 70oveq12d 6079 . . 3
7259, 66, 713eqtr4d 2464 . 2
731, 2, 3, 10tendodi1 33865 . . . 4
7435, 37, 36, 38, 73syl13anc 1205 . . 3
7515adantr 455 . . . . 5
7675oveqd 6078 . . . 4
771, 2, 3, 10tendoplcl 33862 . . . . . 6
78773adant3r3 1183 . . . . 5
791, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 33895 . . . . 5
8035, 78, 37, 79syl12anc 1201 . . . 4
8176, 80eqtrd 2454 . . 3
8270, 31oveq12d 6079 . . 3
8374, 81, 823eqtr4d 2464 . 2
841, 2, 3tendoidcl 33850 . 2
8515oveqd 6078 . . . 4
87 simpl 447 . . . 4
8884adantr 455 . . . 4
89 simpr 451 . . . 4
901, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 33895 . . . 4
9187, 88, 89, 90syl12anc 1201 . . 3
921, 2, 3tendo1mulr 33852 . . 3
9386, 91, 923eqtrd 2458 . 2
9415oveqd 6078 . . . 4
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  e.cmpt 4325   cid 4602  'ccnv 4810  |cres 4813  o.ccom 4815  `cfv 5390  (class class class)co 6061  e.cmpt2 6063   cbs 14114   cplusg 14178   cmulr 14179   crg 16469   chlt 32432   clh 33065   cltrn 33182   ctendo 33833   cedring-rN 33835 This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  34080  erngrng-rN  34081 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-riotaBAD 32041 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-undef 6751  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-fz 11382  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-0g 14320  df-poset 15056  df-plt 15068  df-lub 15084  df-glb 15085  df-join 15086  df-meet 15087  df-p0 15149  df-p1 15150  df-lat 15156  df-clat 15218  df-mnd 15355  df-grp 15482  df-mgp 16458  df-rng 16472  df-oposet 32258  df-ol 32260  df-oml 32261  df-covers 32348  df-ats 32349  df-atl 32380  df-cvlat 32404  df-hlat 32433  df-llines 32579  df-lplanes 32580  df-lvols 32581  df-lines 32582  df-psubsp 32584  df-pmap 32585  df-padd 32877  df-lhyp 33069  df-laut 33070  df-ldil 33185  df-ltrn 33186  df-trl 33240  df-tendo 33836  df-edring-rN 33837