MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  erov Unicode version

Theorem erov 7427
Description: The value of an operation defined on equivalence classes. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eropr.1
eropr.2
eropr.3
eropr.4
eropr.5
eropr.6
eropr.7
eropr.8
eropr.9
eropr.10
eropr.11
eropr.12
eropr.13
eropr.14
Assertion
Ref Expression
erov
Distinct variable groups:   , , , , , , , , ,   , , , , , , , , ,   J, , , , ,   P, , , , , , , , ,   , , , , , , , , ,   , , , , ,   Q, , , , , , , , ,   S, , , , , , , , ,   , , , , , , , , ,   , , , , , , , , ,   , , , , , , , , ,   , , , , , , ,   , , , , , , ,

Proof of Theorem erov
StepHypRef Expression
1 eropr.1 . . . . 5
2 eropr.2 . . . . 5
3 eropr.3 . . . . 5
4 eropr.4 . . . . 5
5 eropr.5 . . . . 5
6 eropr.6 . . . . 5
7 eropr.7 . . . . 5
8 eropr.8 . . . . 5
9 eropr.9 . . . . 5
10 eropr.10 . . . . 5
11 eropr.11 . . . . 5
12 eropr.12 . . . . 5
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12erovlem 7426 . . . 4
14133ad2ant1 1017 . . 3
15 simprl 756 . . . . . . . 8
1615eqeq1d 2459 . . . . . . 7
17 simprr 757 . . . . . . . 8
1817eqeq1d 2459 . . . . . . 7
1916, 18anbi12d 710 . . . . . 6
2019anbi1d 704 . . . . 5
21202rexbidv 2975 . . . 4
2221iotabidv 5577 . . 3
23 eropr.13 . . . . 5
24 ecelqsg 7385 . . . . . 6
2524, 1syl6eleqr 2556 . . . . 5
2623, 25sylan 471 . . . 4
27263adant3 1016 . . 3
28 eropr.14 . . . . 5
29 ecelqsg 7385 . . . . . 6
3029, 2syl6eleqr 2556 . . . . 5
3128, 30sylan 471 . . . 4
32313adant2 1015 . . 3
33 iotaex 5573 . . . 4
3433a1i 11 . . 3
3514, 22, 27, 32, 34ovmpt2d 6430 . 2
36 eqid 2457 . . . . . . 7
37 eqid 2457 . . . . . . 7
3836, 37pm3.2i 455 . . . . . 6
39 eqid 2457 . . . . . 6
4038, 39pm3.2i 455 . . . . 5
41 eceq1 7366 . . . . . . . . 9
4241eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
4342anbi1d 704 . . . . . . 7
44 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
4544eceq1d 7367 . . . . . . . 8
4645eqeq2d 2471 . . . . . . 7
4743, 46anbi12d 710 . . . . . 6
48 eceq1 7366 . . . . . . . . 9
4948eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
5049anbi2d 703 . . . . . . 7
51 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
5251eceq1d 7367 . . . . . . . 8
5352eqeq2d 2471 . . . . . . 7
5450, 53anbi12d 710 . . . . . 6
5547, 54rspc2ev 3221 . . . . 5
5640, 55mp3an3 1313 . . . 4
57563adant1 1014 . . 3
58 ecexg 7334 . . . . . 6
593, 58syl 16 . . . . 5
60593ad2ant1 1017 . . . 4
61 simp1 996 . . . . 5
621, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11eroveu 7425 . . . . 5
6361, 27, 32, 62syl12anc 1226 . . . 4
64 simpr 461 . . . . . . 7
6564eqeq1d 2459 . . . . . 6
6665anbi2d 703 . . . . 5
67662rexbidv 2975 . . . 4
6860, 63, 67iota2d 5581 . . 3
6957, 68mpbid 210 . 2
7035, 69eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E!weu 2282  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  iotacio 5554  -->wf 5589  (class class class)co 6296  {coprab 6297  e.cmpt2 6298  Erwer 7327  [cec 7328  /.cqs 7329
This theorem is referenced by:  erov2  7429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-ec 7332  df-qs 7336
  Copyright terms: Public domain W3C validator