Theorem erovlem 7426

Description: Lemma for erov 7427 and eroprf 7428. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eropr.1
eropr.2
eropr.3
eropr.4
eropr.5
eropr.6
eropr.7
eropr.8
eropr.9
eropr.10
eropr.11
eropr.12

Assertion

Ref	Expression
erovlem

Distinct variable groups:   ,,,,,,,,,   ,,,,,,,,,   J,,,,,   ,,,,,,,,,   ,,,,,   S,,,,,,,,,   ,,,,,,,,,   ,,,,,,,,,   ,,,,,,,,,

Proof of Theorem erovlem

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . . . . . . 8
2	1	reximi 2925	. . . . . . 7
3	2	reximi 2925	. . . . . 6
4		eropr.1	. . . . . . . . . 10
5	4	eleq2i 2535	. . . . . . . . 9
6		vex 3112	. . . . . . . . . 10
7	6	elqs 7383	. . . . . . . . 9
8	5, 7	bitri 249	. . . . . . . 8
9		eropr.2	. . . . . . . . . 10
10	9	eleq2i 2535	. . . . . . . . 9
11		vex 3112	. . . . . . . . . 10
12	11	elqs 7383	. . . . . . . . 9
13	10, 12	bitri 249	. . . . . . . 8
14	8, 13	anbi12i 697	. . . . . . 7
15		reeanv 3025	. . . . . . 7
16	14, 15	bitr4i 252	. . . . . 6
17	3, 16	sylibr 212	. . . . 5
18	17	pm4.71ri 633	. . . 4
19		eropr.3	. . . . . . . 8
20		eropr.4	. . . . . . . 8
21		eropr.5	. . . . . . . 8
22		eropr.6	. . . . . . . 8
23		eropr.7	. . . . . . . 8
24		eropr.8	. . . . . . . 8
25		eropr.9	. . . . . . . 8
26		eropr.10	. . . . . . . 8
27		eropr.11	. . . . . . . 8
28	4, 9, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27	eroveu 7425	. . . . . . 7
29		iota1 5570	. . . . . . 7
30	28, 29	syl 16	. . . . . 6
31		eqcom 2466	. . . . . 6
32	30, 31	syl6bb 261	. . . . 5
33	32	pm5.32da 641	. . . 4
34	18, 33	syl5bb 257	. . 3
35	34	oprabbidv 6351	. 2
36		eropr.12	. 2
37		df-mpt2 6301	. . 3
38		nfv 1707	. . . 4
39		nfv 1707	. . . . 5
40		nfiota1 5558	. . . . . 6
41	40	nfeq2 2636	. . . . 5
42	39, 41	nfan 1928	. . . 4
43		eqeq1 2461	. . . . 5
44	43	anbi2d 703	. . . 4
45	38, 42, 44	cbvoprab3 6373	. . 3
46	37, 45	eqtr4i 2489	. 2
47	35, 36, 46	3eqtr4g 2523	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E!weu 2282  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  iotacio 5554  -->wf 5589  (class class class)co 6296  {coprab 6297  e.cmpt2 6298  Erwer 7327  [cec 7328  /.cqs 7329

This theorem is referenced by:  erov  7427  eroprf  7428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-ec 7332  df-qs 7336