MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eucalg Unicode version

Theorem eucalg 14216
Description: Euclid's Algorithm computes the greatest common divisor of two nonnegative integers by repeatedly replacing the larger of them with its remainder modulo the smaller until the remainder is 0.

Upon halting, the 1st member of the final state is equal to the gcd of the values comprising the input state . This is Metamath 100 proof #69 (greatest common divisor algorithm). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Hypotheses
Ref Expression
eucalgval.1
eucalg.2
eucalg.3
Assertion
Ref Expression
eucalg
Distinct variable groups:   , ,M   ,N,   , ,   ,

Proof of Theorem eucalg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11144 . . . . . . . 8
2 eucalg.2 . . . . . . . 8
3 0zd 10901 . . . . . . . 8
4 eucalg.3 . . . . . . . . 9
5 opelxpi 5036 . . . . . . . . 9
64, 5syl5eqel 2549 . . . . . . . 8
7 eucalgval.1 . . . . . . . . . 10
87eucalgf 14212 . . . . . . . . 9
98a1i 11 . . . . . . . 8
101, 2, 3, 6, 9algrf 14202 . . . . . . 7
11 ffvelrn 6029 . . . . . . 7
1210, 11sylancom 667 . . . . . 6
13 1st2nd2 6837 . . . . . 6
1412, 13syl 16 . . . . 5
1514fveq2d 5875 . . . 4
16 df-ov 6299 . . . 4
1715, 16syl6eqr 2516 . . 3
184fveq2i 5874 . . . . . . . 8
19 op2ndg 6813 . . . . . . . 8
2018, 19syl5eq 2510 . . . . . . 7
2120fveq2d 5875 . . . . . 6
2221fveq2d 5875 . . . . 5
23 xp2nd 6831 . . . . . . . . 9
2423nn0zd 10992 . . . . . . . 8
25 uzid 11124 . . . . . . . 8
2624, 25syl 16 . . . . . . 7
27 eqid 2457 . . . . . . . 8
287, 2, 27eucalgcvga 14215 . . . . . . 7
2926, 28mpd 15 . . . . . 6
306, 29syl 16 . . . . 5
3122, 30eqtr3d 2500 . . . 4
3231oveq2d 6312 . . 3
33 xp1st 6830 . . . 4
34 nn0gcdid0 14163 . . . 4
3512, 33, 343syl 20 . . 3
3617, 32, 353eqtrrd 2503 . 2
37 gcdf 14157 . . . . . . 7
38 ffn 5736 . . . . . . 7
3937, 38ax-mp 5 . . . . . 6
40 nn0ssz 10910 . . . . . . 7
41 xpss12 5113 . . . . . . 7
4240, 40, 41mp2an 672 . . . . . 6
43 fnssres 5699 . . . . . 6
4439, 42, 43mp2an 672 . . . . 5
457eucalginv 14213 . . . . . 6
468ffvelrni 6030 . . . . . . 7
47 fvres 5885 . . . . . . 7
4846, 47syl 16 . . . . . 6
49 fvres 5885 . . . . . 6
5045, 48, 493eqtr4d 2508 . . . . 5
512, 8, 44, 50alginv 14204 . . . 4
526, 51sylancom 667 . . 3
53 fvres 5885 . . . 4
5412, 53syl 16 . . 3
55 0nn0 10835 . . . . 5
56 ffvelrn 6029 . . . . 5
5710, 55, 56sylancl 662 . . . 4
58 fvres 5885 . . . 4
5957, 58syl 16 . . 3
6052, 54, 593eqtr3d 2506 . 2
611, 2, 3, 6algr0 14201 . . . . 5
6261, 4syl6eq 2514 . . . 4
6362fveq2d 5875 . . 3
64 df-ov 6299 . . 3
6563, 64syl6eqr 2516 . 2
6636, 60, 653eqtrd 2502 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475  ifcif 3941  {csn 4029  <.cop 4035  X.cxp 5002  |`cres 5006  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   c1st 6798   c2nd 6799  0cc0 9513   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cmo 11996  seqcseq 12107   cgcd 14144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145
  Copyright terms: Public domain W3C validator