Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eucalgcvga Unicode version

Theorem eucalgcvga 14215
 Description: Once Euclid's Algorithm halts after steps, the second element of the state remains 0 . (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eucalgval.1
eucalg.2
eucalgcvga.3
Assertion
Ref Expression
eucalgcvga
Distinct variable groups:   ,,N   ,,   ,

Proof of Theorem eucalgcvga
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eucalgcvga.3 . . . . . . 7
2 xp2nd 6831 . . . . . . 7
31, 2syl5eqel 2549 . . . . . 6
4 eluznn0 11180 . . . . . 6
53, 4sylan 471 . . . . 5
6 nn0uz 11144 . . . . . . 7
7 eucalg.2 . . . . . . 7
8 0zd 10901 . . . . . . 7
9 id 22 . . . . . . 7
10 eucalgval.1 . . . . . . . . 9
1110eucalgf 14212 . . . . . . . 8
1211a1i 11 . . . . . . 7
136, 7, 8, 9, 12algrf 14202 . . . . . 6
1413ffvelrnda 6031 . . . . 5
155, 14syldan 470 . . . 4
16 fvres 5885 . . . 4
1715, 16syl 16 . . 3
18 simpl 457 . . . 4
19 fvres 5885 . . . . . . . 8
2019, 1syl6eqr 2516 . . . . . . 7
2120fveq2d 5875 . . . . . 6
2221eleq2d 2527 . . . . 5
2322biimpar 485 . . . 4
24 f2ndres 6823 . . . . 5
2510eucalglt 14214 . . . . . 6
2611ffvelrni 6030 . . . . . . . 8
27 fvres 5885 . . . . . . . 8
2826, 27syl 16 . . . . . . 7
2928neeq1d 2734 . . . . . 6
30 fvres 5885 . . . . . . 7
3128, 30breq12d 4465 . . . . . 6
3225, 29, 313imtr4d 268 . . . . 5
33 eqid 2457 . . . . 5
3411, 7, 24, 32, 33algcvga 14208 . . . 4
3518, 23, 34sylc 60 . . 3
3617, 35eqtr3d 2500 . 2
3736ex 434 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  ifcif 3941  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  |cres 5006  o.ccom 5008  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   c1st 6798   c2nd 6799  0cc0 9513   clt 9649   cn0 10820   cuz 11110   cmo 11996  seqcseq 12107 This theorem is referenced by:  eucalg  14216 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108
 Copyright terms: Public domain W3C validator