Theorem euind 3286

Description: Existential uniqueness via an indirect equality. (Contributed by NM, 11-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
euind.1
euind.2
euind.3

Assertion

Ref	Expression
euind

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,

Proof of Theorem euind

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euind.2	. . . . . 6
2	1	cbvexv 2024	. . . . 5
3		euind.1	. . . . . . . . 9
4	3	isseti 3115	. . . . . . . 8
5	4	biantrur 506	. . . . . . 7
6	5	exbii 1667	. . . . . 6
7		19.41v 1771	. . . . . . 7
8	7	exbii 1667	. . . . . 6
9		excom 1849	. . . . . 6
10	6, 8, 9	3bitr2i 273	. . . . 5
11	2, 10	bitri 249	. . . 4
12		eqeq2 2472	. . . . . . . . 9
13	12	imim2i 14	. . . . . . . 8
14		bi2 198	. . . . . . . . . 10
15	14	imim2i 14	. . . . . . . . 9
16		an31 800	. . . . . . . . . . 11
17	16	imbi1i 325	. . . . . . . . . 10
18		impexp 446	. . . . . . . . . 10
19		impexp 446	. . . . . . . . . 10
20	17, 18, 19	3bitr3i 275	. . . . . . . . 9
21	15, 20	sylib 196	. . . . . . . 8
22	13, 21	syl 16	. . . . . . 7
23	22	2alimi 1634	. . . . . 6
24		19.23v 1760	. . . . . . . 8
25	24	albii 1640	. . . . . . 7
26		19.21v 1729	. . . . . . 7
27	25, 26	bitri 249	. . . . . 6
28	23, 27	sylib 196	. . . . 5
29	28	eximdv 1710	. . . 4
30	11, 29	syl5bi 217	. . 3
31	30	imp 429	. 2
32		pm4.24 643	. . . . . . . 8
33	32	biimpi 194	. . . . . . 7
34		prth 571	. . . . . . 7
35		eqtr3 2485	. . . . . . 7
36	33, 34, 35	syl56 34	. . . . . 6
37	36	alanimi 1637	. . . . 5
38		19.23v 1760	. . . . . . 7
39	38	biimpi 194	. . . . . 6
40	39	com12 31	. . . . 5
41	37, 40	syl5 32	. . . 4
42	41	alrimivv 1720	. . 3
43	42	adantl 466	. 2
44		eqeq1 2461	. . . . 5
45	44	imbi2d 316	. . . 4
46	45	albidv 1713	. . 3
47	46	eu4 2338	. 2
48	31, 43, 47	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282  cvv 3109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-v 3111