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Theorem euotd 4753
Description: Prove existential uniqueness for an ordered triple. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
euotd.1
euotd.2
euotd.3
euotd.4
Assertion
Ref Expression
euotd
Distinct variable groups:   , , , ,   , , , ,   , , , ,   , , , ,

Proof of Theorem euotd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 euotd.4 . . . . . . . . . . . . 13
21biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12
3 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
4 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
5 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
63, 4, 5otth 4734 . . . . . . . . . . . 12
72, 6sylibr 212 . . . . . . . . . . 11
87eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
98biimpd 207 . . . . . . . . 9
109impancom 440 . . . . . . . 8
1110expimpd 603 . . . . . . 7
1211exlimdv 1724 . . . . . 6
1312exlimdvv 1725 . . . . 5
14 euotd.3 . . . . . . . 8
15 euotd.2 . . . . . . . . 9
16 tru 1399 . . . . . . . . . . 11
17 euotd.1 . . . . . . . . . . . 12
1815adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
1914ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2120, 6sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2221eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
231biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2422, 23jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16
25 a1tru 1411 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2624, 252thd 240 . . . . . . . . . . . . . . 15
27263anassrs 1218 . . . . . . . . . . . . . 14
2819, 27sbcied 3364 . . . . . . . . . . . . 13
2918, 28sbcied 3364 . . . . . . . . . . . 12
3017, 29sbcied 3364 . . . . . . . . . . 11
3116, 30mpbiri 233 . . . . . . . . . 10
3231spesbcd 3421 . . . . . . . . 9
33 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10
34 nfsbc1v 3347 . . . . . . . . . . 11
3534nfex 1948 . . . . . . . . . 10
36 sbceq1a 3338 . . . . . . . . . . 11
3736exbidv 1714 . . . . . . . . . 10
3833, 35, 37spcegf 3190 . . . . . . . . 9
3915, 32, 38sylc 60 . . . . . . . 8
40 nfcv 2619 . . . . . . . . 9
41 nfsbc1v 3347 . . . . . . . . . . 11
4241nfex 1948 . . . . . . . . . 10
4342nfex 1948 . . . . . . . . 9
44 sbceq1a 3338 . . . . . . . . . 10
45442exbidv 1716 . . . . . . . . 9
4640, 43, 45spcegf 3190 . . . . . . . 8
4714, 39, 46sylc 60 . . . . . . 7
48 excom13 1851 . . . . . . 7
4947, 48sylib 196 . . . . . 6
50 eqeq1 2461 . . . . . . . 8
5150anbi1d 704 . . . . . . 7
52513exbidv 1717 . . . . . 6
5349, 52syl5ibrcom 222 . . . . 5
5413, 53impbid 191 . . . 4
5554alrimiv 1719 . . 3
56 otex 4717 . . . 4
57 eqeq2 2472 . . . . . 6
5857bibi2d 318 . . . . 5
5958albidv 1713 . . . 4
6056, 59spcev 3201 . . 3
6155, 60syl 16 . 2
62 df-eu 2286 . 2
6361, 62sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395   wtru 1396  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282   cvv 3109  [.wsbc 3327  <.cotp 4037
This theorem is referenced by:  oeeu  7271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-ot 4038
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