Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1rhm Unicode version

Theorem evl1rhm 21237
 Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1rhm.q
evl1rhm.w
evl1rhm.t
evl1rhm.b
Assertion
Ref Expression
evl1rhm

Proof of Theorem evl1rhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1rhm.q . . 3
2 eqid 2422 . . 3
3 evl1rhm.b . . 3
41, 2, 3evl1fval 21235 . 2
5 ovex 6086 . . . . . 6
6 eqid 2422 . . . . . . 7
76, 3pwsbas 14365 . . . . . 6
85, 7mpan2 656 . . . . 5
98mpteq1d 4348 . . . 4
10 evl1rhm.t . . . . 5
11 eqid 2422 . . . . 5
12 crngrng 16483 . . . . 5
13 fvex 5671 . . . . . . 7
143, 13eqeltri 2492 . . . . . 6
1514a1i 11 . . . . 5
165a1i 11 . . . . 5
17 df1o2 6893 . . . . . . 7
18 0ex 4397 . . . . . . 7
19 eqid 2422 . . . . . . 7
2017, 14, 18, 19mapsnf1o3 7220 . . . . . 6
21 f1of 5611 . . . . . 6
2220, 21mp1i 12 . . . . 5
2310, 6, 11, 12, 15, 16, 22pwsco1rhm 16643 . . . 4
249, 23eqeltrd 2496 . . 3
25 1on 6888 . . . . 5
26 eqid 2422 . . . . . 6
272, 3, 26, 6evlrhm 21234 . . . . 5
2825, 27mpan 655 . . . 4
29 eqidd 2423 . . . . 5
30 eqidd 2423 . . . . 5
31 evl1rhm.w . . . . . . 7
32 eqid 2422 . . . . . . 7
33 eqid 2422 . . . . . . 7
3431, 32, 33ply1bas 17417 . . . . . 6
3534a1i 11 . . . . 5
36 eqid 2422 . . . . . . . 8
3731, 26, 36ply1plusg 17444 . . . . . . 7
3837a1i 11 . . . . . 6
3938proplem3 14569 . . . . 5
40 eqidd 2423 . . . . 5
41 eqid 2422 . . . . . . . 8
4231, 26, 41ply1mulr 17446 . . . . . . 7
4342a1i 11 . . . . . 6
4443proplem3 14569 . . . . 5
45 eqidd 2423 . . . . 5
4629, 30, 35, 30, 39, 40, 44, 45rhmpropd 16713 . . . 4
4728, 46eleqtrrd 2499 . . 3
48 rhmco 16642 . . 3
4924, 47, 48syl2anc 646 . 2
504, 49syl5eqel 2506 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749   cvv 2951   c0 3614  {csn 3853  e.cmpt 4325   con0 4690  X.cxp 4809  o.ccom 4815  -->wf 5386  -1-1-onto->wf1o 5389  `cfv 5390  (class class class)co 6061   c1o 6874   cmap 7175   cbs 14114   cplusg 14178   cmulr 14179   cpws 14325   ccrg 16470   crh 16627   cmpl 17228   cevl 17230   cps1 17393   cpl1 17395   ce1 17397 This theorem is referenced by:  evl1addd  21242  evl1subd  21243  evl1muld  21244  evl1expd  21246  pf1const  21254  pf1id  21255  pf1subrg  21256  mpfpf1  21259  pf1mpf  21260  ply1remlem  21375  ply1rem  21376  facth1  21377  fta1glem1  21378  fta1glem2  21379  fta1g  21380  fta1blem  21381  plypf1  21421  lgsqrlem2  22422  lgsqrlem3  22423  pl1cn  26094  idomrootle  29233 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-ofr 6291  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-supp 6660  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-pm 7178  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-fsupp 7580  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-seq 11748  df-hash 12045  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-hom 14202  df-cco 14203  df-0g 14320  df-gsum 14321  df-prds 14326  df-pws 14328  df-mre 14464  df-mrc 14465  df-acs 14467  df-mnd 15355  df-mhm 15404  df-submnd 15405  df-grp 15482  df-minusg 15483  df-sbg 15484  df-mulg 15485  df-subg 15615  df-ghm 15682  df-cntz 15772  df-cmn 16216  df-abl 16217  df-mgp 16458  df-rng 16472  df-cring 16473  df-ur 16474  df-rnghom 16629  df-subrg 16676  df-lmod 16763  df-lss 16823  df-lsp 16862  df-assa 17192  df-asp 17193  df-ascl 17194  df-psr 17237  df-mvr 17238  df-mpl 17239  df-evls 17240  df-evl 17241  df-opsr 17245  df-psr1 17400  df-ply1 17402  df-evl1 17404
 Copyright terms: Public domain W3C validator