Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1rhm Unicode version

Theorem evl1rhm 17959
 Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 13-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1rhm.q
evl1rhm.w
evl1rhm.t
evl1rhm.b
Assertion
Ref Expression
evl1rhm

Proof of Theorem evl1rhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1rhm.q . . 3
2 eqid 2454 . . 3
3 evl1rhm.b . . 3
41, 2, 3evl1fval 17955 . 2
5 evl1rhm.t . . . 4
6 eqid 2454 . . . 4
73, 5, 6evls1rhmlem 17949 . . 3
8 1on 7061 . . . . 5
9 eqid 2454 . . . . . 6
10 eqid 2454 . . . . . 6
112, 3, 9, 10evlrhm 17788 . . . . 5
128, 11mpan 670 . . . 4
13 eqidd 2455 . . . . 5
14 eqidd 2455 . . . . 5
15 evl1rhm.w . . . . . . 7
16 eqid 2454 . . . . . . 7
17 eqid 2454 . . . . . . 7
1815, 16, 17ply1bas 17828 . . . . . 6
1918a1i 11 . . . . 5
20 eqid 2454 . . . . . . . 8
2115, 9, 20ply1plusg 17860 . . . . . . 7
2221a1i 11 . . . . . 6
2322proplem3 14788 . . . . 5
24 eqidd 2455 . . . . 5
25 eqid 2454 . . . . . . . 8
2615, 9, 25ply1mulr 17862 . . . . . . 7
2726a1i 11 . . . . . 6
2827proplem3 14788 . . . . 5
29 eqidd 2455 . . . . 5
3013, 14, 19, 14, 23, 24, 28, 29rhmpropd 17076 . . . 4
3112, 30eleqtrrd 2545 . . 3
32 rhmco 17001 . . 3
337, 31, 32syl2anc 661 . 2
344, 33syl5eqel 2546 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  {csn 3993  e.cmpt 4467   con0 4836  X.cxp 4955  o.ccom 4961  `cfv 5537  (class class class)co 6222   c1o 7047   cmap 7348   cbs 14332   cplusg 14397   cmulr 14398   cpws 14544   ccrg 16822   crh 16980   cmpl 17596   cevl 17764   cps1 17808   cpl1 17810   ce1 17942 This theorem is referenced by:  fveval1fvcl  17960  evl1addd  17968  evl1subd  17969  evl1muld  17970  evl1expd  17972  pf1const  17973  pf1id  17974  pf1subrg  17975  mpfpf1  17978  pf1mpf  17979  evl1gsummul  17987  evl1scvarpw  17990  ply1remlem  22034  ply1rem  22035  facth1  22036  fta1glem1  22037  fta1glem2  22038  fta1g  22039  fta1blem  22040  plypf1  22080  lgsqrlem2  23081  lgsqrlem3  23082  pl1cn  26842  idomrootle  30020 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-iin 4291  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-ofr 6454  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-supp 6825  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-pm 7351  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fsupp 7756  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-seq 11964  df-hash 12261  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-sca 14413  df-vsca 14414  df-ip 14415  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-hom 14421  df-cco 14422  df-0g 14539  df-gsum 14540  df-prds 14545  df-pws 14547  df-mre 14683  df-mrc 14684  df-acs 14686  df-mnd 15574  df-mhm 15623  df-submnd 15624  df-grp 15704  df-minusg 15705  df-sbg 15706  df-mulg 15707  df-subg 15837  df-ghm 15904  df-cntz 15994  df-cmn 16440  df-abl 16441  df-mgp 16767  df-ur 16779  df-srg 16783  df-rng 16823  df-cring 16824  df-rnghom 16982  df-subrg 17039  df-lmod 17126  df-lss 17190  df-lsp 17229  df-assa 17560  df-asp 17561  df-ascl 17562  df-psr 17599  df-mvr 17600  df-mpl 17601  df-opsr 17603  df-evls 17765  df-evl 17766  df-psr1 17813  df-ply1 17815  df-evl1 17944
 Copyright terms: Public domain W3C validator